1.1.4 Vecteur accélération

Repères cartésien :

C'est la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse : . Il représente l'accélération instantanée du mobile à l'instant t où on le calcule.

Le vecteur vitesse étant tangent à la trajectoire, le vecteur accélération, qui est sa dérivée, aura deux composantes, soit avec :

• accélération tangentielle portée par la tangente en (comme la vitesse)
• accélération normale perpendiculaire en à , et toujours dirigée vers la partie concave de la trajectoire (vers le centre de courbure, càd vers "l'intérieur" de la courbe)

On peut noter que l'accélération normale n'existe (est non nulle) que si la trajectoire présente une courbure.

Si et sont de même sens, le mouvement est dit accéléré (la vitesse V augmente).

Si et sont de sens contraires, le mouvement est dit décéléré ou ralenti (la vitesse V diminue).

• Coordonnées cartésiennes

On pourra aussi écrire :

est le module du vecteur accélération, c'est une grandeur scalaire (nombre) positive qui représente la mesure de l'accélération instantanée (en m/s²).

• Coordonnées polaires

En dérivant le vecteur vitesse exprimé en polaires, et en remarquant que .

On obtient .

Repère intrinsèque (Frenet) :

Les vecteurs du repère de Frenet étant portés par la normale et la tangente à la trajectoire, on a donc avec et où est le rayon de courbure de la trajectoire. On remarquera que est toujours positif, donc on retrouve bien le fait que l'accélération normale est toujours dirigée vers le centre de la trajectoire. 

Cas particulier : Si la trajectoire du point est un cercle de rayon R, alors ρ est le rayon du cercle ρ = R. Par rapport au repère polaire, on a et . On a donc et avec la vitesse angulaire et la vitesse linéaire du point .

Si de plus, le cercle est parcouru par le point à la vitesse angulaire ω = constante (mouvement circulaire uniforme) alors l'accélération devient purement normale : (on dit qu'elle est centripète).