1.1.3 Vecteur vitesse

Repères cartésien :

C'est la dérivée par rapport au temps du vecteur position : . C'est un vecteur qui est toujours tangent à la trajectoire au point où on le calcule. Il représente la vitesse instantanée du mobile à l'instant où on le calcule.

• Coordonnées cartésiennes

Si le vecteur position s'écrit , le vecteur vitesse s'écrira puisque les vecteurs sont fixes (dérivée nulle par rapport au temps).

On écrira également :

est le module du vecteur vitesse, c'est une grandeur scalaire (nombre) positive, qui représente la mesure de la vitesse du mobile (en m/s).

• Coordonnées polaires

Cette fois, le vecteur position s'écrit mais le vecteur dépend du temps, puisqu'il bouge avec le point M. On aura alors .

On peut montrer facilement que ce qui donne donc .
On a également l'habitude de noter les dérivées par rapport au temps par un point au dessus de la grandeur : .

On écrira donc finalement :

Repère intrinsèque (Frenet) :

La mesure algébrique (avec signe) de la vitesse instantanée du mobile (en m/s) vaut : .

Le vecteur vitesse étant tangent à la trajectoire au point , il est donc porté par le vecteur , et s'écrira :

Cas particulier :

Si la trajectoire du point est un cercle de rayon R centré en ( constante), le vecteur vitesse s'écrira en coordonnées polaires, où le vecteur est tangent au cercle, et est donc le même que le vecteur de Frenet. On aura donc , d'où on en déduit où v est la vitesse "linéaire" (en m/s) du point sur le cercle de rayon R, et sa vitesse "angulaire" (en rad/s) (dérivée de sa "position" angulaire ).