Rappel: L'application de la propriété de la transformée de Laplace, démontrée au paragraphe 2.5, pour la fonction u(t) est:
L e ^-at.u(t) = 1/(p+a).
Ainsi en posant a = -jw on trouve que l'image de la fonction complexe x(t) = e ^jwt est  X(p) = 1/(p - jw). 
 
L'image de la réponse temporelle d'un système de fonction de transfert T(p) à cette commande est donc:  Y(p) = T(p) / (p - jw).
Nous avons montré au paragraphe 3.1 que la réponse permanente pouvait se calculer par la méthode des résidus en ne s'intéressant qu'aux pôles de X(p).
Dans notre cas X(p) ne possède qu'un seul pôle simple  p₁ = jw .  D'où:
y_P(t) = R_p1 = (p - p₁)[ T(p).X(p).e ^pt ]_{p= p1} = [ T(p).e ^pt ]_{p = jw} = T(jw).e ^jwt = T(jw).x(t) .
Or x(t) = e ^jwt = cos(wt) + j.sin(wt)   et d'autre part T(jw) est un nombre complexe qu'on peut définir en fonction de ces coordonnées polaires (module et argument):  T(jw) = çT(jw)ç e ^{j ^T(jw)} . 
 
Notations:  çT(jw)ç doit se lire module de T(jw)  et ^T(jw) doit se lire argument de T(jw). 
 
y_P(t) = T(jw).x(t) = çT(jw)ç e ^{j ^T(jw)}.e ^jwt = çT(jw)ç e ^{j [wt + ^T(jw)]} =
çT(jw)ç.{ cos[wt + ^T(jw)] + j.sin[wt + ^T(jw)] }. 
 
Donc la réponse permanente d'un système linéaire de fonction de transfert T(p) à une commande sinusoïdale x(t) = E.sin(wt) est:
y_P(t) = E.çT(jw)ç.sin[wt + ^T(jw)] .
C'est une sinusoïde de même pulsation que la sinusoïde de commande, modifiée en amplitude par la valeur d'un gain G(w), et déphasée d'une valeur j(w) avec:
G(w) = çT(jw)ç = gain   et   j(w) = ^T(jw) = déphasage  (exprimé en degrés d'arc pour faciliter la corrélation entre les études théorique et expérimentale).

Ainsi l'étude de la réponse harmonique d'un système consiste simplement à étudier le nombre complexe T(jw) qu'on appelle transmittance harmonique (ou transmittance complexe).
Le nombre complexe T(jw) s'obtient simplement en remplaçant p par jw dans l'expression de la fonction de transfert T(p).