Beaucoup de systèmes réels présentent un retard entre l'entrée et la sortie du système. L'exemple introductif d'une installation de chauffage d'immeuble en est un exemple caractéristique. Pour qu'une augmentation de la puissance de la chaudière puisse se manifester dans une pièce, il faut que l'eau qui circule dans les radiateurs ait eu le temps d'arriver, d'où un retard qui se rajoute à l'inertie thermique du bâtiment.

La fonction de transfert d'un retard est analytiquement simple :

D'apparence innocente, cette fonction de transfert pose quelques problèmes techniques : vue comme celle d'un système linéaire classique, elle est d'ordre infini. Elle possède donc une infinité de pôles, et est donc susceptible de conduire, en boucle fermée, à un système instable.

3.5.a Retard pur : analyse temporelle

Nous prendrons comme exemple un circuit électronique imaginaire, dont les entrées et les sorties sont des tensions, construit conformément au schéma bloc ci-dessous :

Si nous appliquons un échelon de tension d'amplitude 1 V à l'entrée de ce schéma nous obtenons en sortie :

Cette courbe oscillatoire amortie s'obtient sans peine en « tournant dans la boucle » au rythme du retard.

Si le gain statique du circuit est augmenté, pour prendre la valeur 1,1 (par exemple), la réponse à l'échelon montre une instabilité franche (attention au changement de l'échelle verticale) :

Les systèmes avec retard ont deux propriétés étranges :

• Ils ne rentrent pas en oscillation de façon sinusoïdale.

• Ils sont instables dès que le gain en boucle ouverte atteint l'unité.

Nous reviendrons sur l'étude de ces systèmes au moyen des outils généraux présentés dans le prochain chapitre. Contentons nous d'indiquer l'allure du lieu des pôles de leur fonction de transfert en boucle fermée.

3.5.b Retard pur : lieu des pôles

Le lieu des pôles d'un système avec retard consiste à rechercher les zéros (complexes) de l'équation

Trivialement cette équation n'a pas de racine réelle. Si on pose p = x + j y, quelques calculs simples conduisent aux racines :

Il y a donc une infinité de pôles, ce dont nous aurions pu nous douter au vu des réponses temporelles.

Ces pôles ont tous la même partie réelle, négative si T₀ < 1, positive si T₀ > 1, nulle si T₀ = 1. Dans ce dernier cas, les pôles sont tous situés sur l'axe imaginaire, régulièrement espacés de 2*p/t.