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2.5.2. Transformation bilinéaire
Le changement de variable permet de
travailler avec la transformée en w : nous posons  . Nous allons préciser ce que représente  soit 
Pour faire une analyse harmonique,
nous remplaçons  par  , d’où  .
Cette expression devient en divisant
les numérateur et dénominateur par  :
En définissant la pulsation fictive  , dans une transformée en  ,
il est intéressant de rapprocher  pour les systèmes échantillonnés de
l’opérateur  des systèmes continus : la pulsation
fictive varie de  quand la pulsation réelle varie
de  .
- Question 1 : l’opérateur w
permet-il d’appliquer le critère de Routh ?
A partir d’un nombre complexe w,
nous allons construire géométriquement le nombre complexe z et vérifier
dans quel cas son module  est strictement
inférieur à l’unité.
Les figures ci-dessus prouvent que pour avoir un module de z
inférieur à l’unité, nous devons avoir un nombre complexe w à partie
réelle strictement négative.
Conclusion : Le critère de Routh est
applicable à l’équation caractéristique en w d’une boucle fermée d’un
système échantillonné.
- Question 2 : l’opérateur w
permet-il d’appliquer le critère du revers ?
Pour répondre à cette question, nous
devons vérifier que le tracé du transfert en boucle ouverte en w quand w
est égal à  décrit la totalité du tracé harmonique
quand la pulsation réelle varie de .
Dans une transformée  , l’étude harmonique impose de remplacer z
par  de périodicité définie à partir d’une
variation  . Le repliement du spectre a lieu au
centre de ce domaine soit pour  . L’exponentielle pour w compris entre  est remplacée par sa conjuguée entre  . La même chose est réalisée pour  du fait de la transformation bilinéaire.
Conclusion : Le tracé du transfert en w de boucle
ouverte pour  , quand la pulsation réelle w
varie de , permet d’appliquer le critère du revers
pour les systèmes échantillonnés.
Les notions de marges de phase et de gain restent utilisables.
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