A) Définition

Un système est dit du deuxième ordre s'il est décrit par une équation de la forme :

Pour la suite, on se limitera à des systèmes d'équation :

B) Forme canonique

L'équation canonique d'un système du premier ordre est de la forme :

C) Régime harmonique

En régime sinusoïdal permanent la fonction de transfert d'un système du premier ordre est de la forme :

D) Diagramme de Bode

E) Réponse indicielle

La réponse indicielle est la réponse à un échelon de tension.

La forme de la réponse dépend de l'amortissement

Amortissement fort : z > 1

Amortissement critique : z =1

Amortissement faible : z < 1Temps de réponse

Temps de réponse

Le temps de réponse à 5% varie avec l'amortissement suivant le graphe ci-dessous ( variable u = wo.t ) :

Le temps de réponse minimal correspond à z = 0,71 et vaut 2,9 / wo

F) Identification

Identifier un système c'est déterminer expérimentalemt ses paramètres

L'identification d'un système de premier ordre se fait à partir de sa réponse indicielle :

• l'amplification K égale à la valeur de s (t) en régime permanent
• les autres constantes dépendent du régime

Si la réponse est oscillante (z < 1) :

Le coefficient d'amortissement se déduit des valeurs des dépassements successifs d'après le graphe de la fig.5. Par exemple, un premier dépassement de 50 % correspond à z = 0,21; pour plus de précision on prendra les trois premiers dépassement.

La pulsation propre se déduit de la période T des oscillations

Si l'amortissement est fort (z > 1,2)

Si on trace le graphe de 1 - s (u)/K, avec une échelle logarithmique, on obtient le graphe y (u) en rouge sur la fig.7. La partie linéaire de y donne la droite D d'équation : log [a/(a-b)]-b.u

La mesure de sa pente donne b et l'ordonnée à l'origine

y_o = log [a/(a-b)] donne a.

 

G) Méthode du plan de phase

Cette méthode s'applique aux circuits R-L-C série de faible amortissement soumis à des échelons simultanés de tension et de courant:

Elle consiste à étudier le graphe Y(X) avec :

X = v et Y = C.w_o.i = i.√ (L/C)

Circuit sans amortissement :

en posant Y_o = I_o / C.w_o et Y_j = J / C.w_o , il vient :

X =E+(V_o-E).cos (w_ot)+(Y_o - Y_j).sin (w_ot)

Y = Y_j +( Y_o - Y_j).cos (w_ot)-(V_o-E).sin (w_ot).

Un circuit L-C soumis simultanément à des échelons de tension E et de courant J, a pour diagramme de phase Y(X) le cercle de centre

G = ( E ; J / C.w_o ) passant par le point M_o = (V_o ; I_o / C.w_o ). Ce cercle est décrit dans le sens horaire, à partir de M_o, à vitesse angulaire constante w_o .

Circuit de faible amortissement :

avec w_o = 1 / √ (L.C) et z = r/2.L.w _o= 1 /(2.Q_o), le graphe est une spirale logarithmique:

Si nous supposons l'amortissement faible soit z << 1 et Q_o >> 1, le diagramme sur une demie période d'oscillation est assimilable au demi-cercle MoM1 ; en posant k = ,

Un circuit R - L - C de faible amortissement tel que p.z << 1, soumis simultanément à des échelons de tension E et de courant J, a pour diagramme de phase Y(X) approché sur l'intervalle de temps 0 < t < p/w_o le demi cercle de centre G = [(1-k).E+k.V_o ; (1-k).Y_j+k.Y_o)] passant par le point M_o = (V_o ; I_o / C.w_o ). Ce demi cercle est décrit dans le sens horaire, à partir de M_o, à vitesse angulaire constante w_o .