A) Principe

Lorsque nous étudions un circuit du second ordre, l'expression des solutions est complexe; en particulier il est difficile de trouver la valeur du temps qui correspond à une valeur donnée de la variable ; la résolution de l'équation y (t) = Y₁ ne peut se faire directement, il faut procéder soit graphiquement, soit numériquement par essais successifs de valeurs du temps.

Dans de nombreuses applications, les circuits du second ordre étudiés sont des circuits R - L - C série de faible amortissement. Les variables d'état sont alors le courant i dans le circuit et la tension v aux bornes du condensateur, avec i = C dv/ dt. Pour z << 1, le régime est de type oscillant amorti de pulsation propre

w_o = 1/√ (L.C)

La méthode du plan de phase consiste à utiliser les variables homogènes à des tensions : X = v et

Y = C.w_o.i = i.√ (L/C); le plan de phase est alors le plan rapporté à un système d'axes (X;Y) orthonormé. Il est alors possible de représenter simplement le graphe Y(X) du circuit et de le graduer en temps.

B) Réponse d'un circuit LC à des échelons simultanés de tension et de courant

Etudions le circuit L-C de résistance nulle représenté sur la fig.11.

Pour t = 0^-, K est ouvert et K' est en position 1 ; nous avons v(0^- )=V_o et i(0^- )=I_o ; à t = 0, nous fermons K appliquant un échelon de tension continue E et, simultanément, nous basculons K en 2 , appliquant un échelon de courant continu J.

v et i sont les variables d'état du système donc v(0⁺) = V_o et i(0⁺) =I_o

Pour t > 0, nous avons E = v + L di / dt , i_c = i - J = C dv / dt; J étant constant, di_c/dt = di/dt d'où

v + L.C.v" = E. Le coefficient d'amortissement étant nul, la solution de l'équation est

v = E + A.cos (w_ot)+B.sin (w_ot); nous en déduisons i_c = C.dv/dt = C.w_o[B.cos (w_ot) -A.sin (w_ot)] et

i = i_c+J =J+ C.w_o[B.cos(w_ot) -A.sin(w_ot)].

Les conditions initiales donnent : V_o =E + A et I_o = J + C.w_o.B . Nous en déduisons :

v = E+(V_o-E).cos (w_ot)+[(I_o - J)/ C.w_o].sin (w_ot) et i =J+(I_o-J).cos (w_ot)-[(V_o-E)/ C.w_o].sin (w_ot). En utilisant les coordonnées du plan de phase et en posant Y_o = I_o / C.w_o et Y_j = J / C.w_o , il vient :

X =E+(V_o-E).cos (w_ot)+(Y_o - Y_j).sin (w_ot) et Y = Y_j +( Y_o - Y_j).cos (w_ot)-(V_o-E).sin (w_ot).

Nous avons :

= r^². Cette équation est celle du cercle de centre G de coordonnées ( E ; Y_j ) et de rayon r . Ce cercle passe par le point initial M_o de coordonnées (V_o ; Y_o ). Lorsque le temps varie, le point M de coordonnées (X;Y) décrit le cercle dans le sens horaire à vitesse angulaire w_o :

Un circuit L-C soumis simultanément à des échelons de tension E et de courant J, a pour diagramme de phase Y(X) le cercle de centre G = ( E ; J / C.w_o ) passant par le point M_o = (V_o ; I_o / C.w_o ). Ce cercle est décrit dans le sens horaire, à partir de M_o, à vitesse angulaire constante w_o .

C) Influence de l'amortissement

Toute inductance réelle comporte une résistance de bobinage r. Prenons en compte cette résistance dans l'étude du circuit de la fig.11. Le facteur de qualité de la bobine est Q_o = L.w_o / r. Pour t > 0, les équations du circuit sont E = v + L.i'+r.i ; i_c= C.dv/dt = i -J. Il vient donc :

E = v +L.C.v"+r.C.v'+r.J soit L.Cv" + r.C.v' + v = E - r.J. Nous avons donc w_o = 1 / √ (L.C) et z = r/2.L.w _o= 1 /(2.Q_o). Si nous supposons l'amortissement faible soit z << 1 et Q_o >> 1, le régime transitoire est oscillant amorti :

v(t ) = avec w = w _o.√ (1-z^²) et

Les conditions initiales donnent V_o= E+A et I_o = J+C.(w.B- z.A.w_o); nous en déduisons : A= V- E et B = [I_o - J +C.z.w_o(V_o- E)]/ C.w.

Si nous supposons z << 1, nous pouvons confondre w et w_o. Nous en déduisons : B = (I_o - J)/ C.w_o +z.(V_o- E) , C.(w.B- z.A.w_o) = I_o - J et

C.(w.A+z.w_o.B) = z.( (I_o - J)+C.w_o.(z^²+1)( V_o- E) peu différent de z.( (I_o - J)+C.w_o.( V_o- E).

Les solutions s'écrivent :

Dans le plan de phase, le graphe Y(X) est une spirale logarithmique (fig.13).

Considérons la première pseudo-période de fonctionnement, soit 0 < t < p/w_o; l'amortissement étant faible, sur cet intervalle de temps, la spirale est peu différente du demi-cercle M_oM₁ ( trait rouge sur la fig.13). Déterminons les coordonnées de M₁:

X₁ = X(p/w_o) =; Y₁ = Y(p/w_o) =; en supposant p.z << 1,

nous avons ; en posant k = , nous obtenons X₁ =2.(1-k).E-(1-2.k).V_o et

Y₁ =2.(1-k).Y_j-(1-2.k).Y_o . M_oM₁ étant le diamètre du cercle, le centre G est au milieu du segment; ses coordonnées sont :

X_g = (X₁+X_o)/2 =(1-k).E+k.V_o et Y_g = (Y₁+Y_o)/2 =(1-k).Y_j+k.Y_o .

Comme dans l'étude à amortissement nul, le diagramme est parcouru dans le sens horaire à vitesse angulaire w_o : .

Un circuit R - L - C de faible amortissement tel que p.z << 1, soumis simultanément à des échelons de tension E et de courant J, a pour diagramme de phase Y(X) approché sur l'intervalle de temps 0 < t < p/w_o le demi cercle de centre G = [(1-k).E+k.V_o ; (1-k).Y_j+k.Y_o)] passant par le point M_o = (V_o ; I_o / C.w_o ). Ce demi cercle est décrit dans le sens horaire, à partir de M_o, à vitesse angulaire constante w_o .

Remarques

Lorsque t ® ¥ , X® E et Y® Y_j ; le point M_f de coordonnées ( E ; Y_j) est situé sur le diamètre M_oM₁.

Soit r = M_oM₁/ 2 le rayon du cercle, le vecteur a pour coordonnées polaires (r Ð a ), ces coordonnées étant obtenues par une transformation rectangulaire® polaire;

Avec ,nous en déduisons les coordonnées polaires de M:

nous en déduisons X-X_g = r.cos (a - w_o.t) et Y-Y_g = r.sin (a - w_o.t); ces équations permettent de calculer v (t) et i (t).

D) Exemple

Etudions le circuit de la fig.14 :

Pour t < 0, nous supposons que les deux interrupteurs sont ouverts : tous les courants sont nuls et que le condensateur est chargé sous V_o = 100 volts.

A t = 0, nous fermons K1 ; le circuit C - r - L mis en court-circuit est alors soumis à l'échelon de tension 0 V et à l'échelon de courant 0 A ( pas de source de courant). Nous avons : w _o= 1/√ (L.C) = 18 260 rd/s ;

z = r / (2.L. w_o) = 0,041 ; Q_o = 1 / 2. z = 12,2.

On est donc dans le cas d'un faible amortissement permettant d'utiliser le diagramme de phase simplifié. Le point initial M_o correspond à v = -100 volts et i = 0 soit M_o = (-100 ; 0).

Avec k ==0,065, le centre G₁ du demi-cercle a pour coordonnées :

X_g1 = (1-k).0+k.(-100) = -6,45 V et Y_g1 = (1-k).0+k.0 = 0.

Nous avons et ; nous en déduisons

X = v = -6,45 - 93,6 cos (p - w_o.t) =-6,45+93,6 cos(p -w_o.t) et Y = i /Cw _o= 93,6 sin (p -w_o.t) soit

i = 25,6 sin(w_o.t).

Si nous laissons le montage évoluer sans intervenir, le courant i augmente de 0 à 25,6 A pour t = p /2.w_o puis diminue et s'annule pour t = p /w_o ; à cet instant la diode D1 se bloque et le fonctionnement s'arrête au point M₁ = (87,1 V ; 0); le montage permet l'inversion de la charge du condensateur C mais la perte d'énergie dans la résistance r fait que l'on retrouve en valeurs absolues une tension inférieure à celle de départ.

Sans attendre le blocage de D1, on ferme K2 à l'instant t_o = 120 µs; posons t' = t - t_o ; en t' = 0, les grandeurs d'état v et i sont continues et gardent les valeurs correspondant au point M'_o de la fig.15. Avec les équations ci-dessus, nous obtenons M'_o = (48 V; 76 V). Pour t' > 0, le circuit C - r - L est soumis à l'échelon de tension E et à l'échelon de courant J = 0; son diagramme de phase approché est donc le demi-cercle de centre G2 de coordonnées X_g2 = (1-k).50+k.48 = 49,9 V et Y_g2 = (1-k).0+k.76 = 4,9 V.

Nous avons nous en déduisons donc :

X = v = 49,9 + 71,2 cos (1,6 -w_o.t) et Y = i /Cw_o= 4,9 + 71,2 sin (1,6 -w_o.t) soit i = 1,3+19,5 sin (1,6 -w_o.t).

Si nous ouvrons K2 en t'₂ lorsque i = 0; de l'expression de i, nous tirons la valeur de ce temps : t'₂ =91,4 µs puis nous calculons la valeur de v soit v = 121 V; avec ce circuit dit d'apport d'énergie, nous avons inversé la charge du condensateur tout en obtenant en valeur absolue une tension supérieure à la tension initiale.

Cet exemple nous montre que l'étude des circuits R-L-C de faible amortissement est facilité par la méthode du plan de phase en évitant la résolution d'équations différentielles.