Étudions le circuit de la fig.7 :

Les équations : e = u + v ; u = Ri ; i = C.dv/dt donnent d'une part : RC.dv/dt + v = e et d'autre part :

de/dt = du/dt + u/RC.

e étant la variable d'entrée si :

v est la variable de sortie, le système est un intégrateur avec t = R.C et K = 1

u est la variable de sortie, le système est un dérivateur avec t = t' = R.C

Etudions la réponse à un créneau unitaire de fréquence f = 1/T.

La réponse de l'intégrateur a été étudiée au paragraphe 4.3 ; la réponse du dérivateur s'en déduit par u = e – v.

Traçons la réponse en régime permanent dans 3 cas :

Premier cas : T << t : prenons par exemple T = 0,1.t

D'après l'étude S_o = 0,488 et S₁ = 0,512 , d'où les graphes

On constate que v (t) est peu différent de E_moyen et que u (t) est peu différent de l'ondulation de e. Le circuit se comporte comme un intégrateur en prenant le signal de sortie aux bornes du condensateur.

Un circuit RC se comporte comme un intégrateur en prenant la tension de sortie aux bornes du condensateur et en choisissant une constante de temps R.C très grande devant la période.

Deuxième cas : T » t : prenons par exemple T = t

D'après l'étude S_o = 0,378 et S₁ = 0,622 , d'où les graphes

Troisième cas : T >> t : prenons par exemple T =100.t

D'après l'étude S_o = 0 et S₁ = 1 , d'où les graphes

On constate que le signal v est très peu différent de e; le u signal donne une image de la dérivée de e : un signal positif lorsque e est croissante, un signal nul pour e = Cste et un signal négatif pour e décroissante.

Un circuit RC se comporte comme un dérivateur en prenant la tension de sortie aux bornes de la résistance et en choisissant une constante de temps R.C très petite devant la période.