Essayez de résoudre algébriquement le système de six équations proposé en haut de la page afin d'exprimer la fonction de transfert S/E (après avoir éliminé les cinq grandeurs internes X_k). Bon courage !!! Etant donné la complexité du résultat c'est de toute évidence un travail colossal ! Proposez cet exercice à votre prof de math.... Il va en baver !!!

La résolution graphique est beaucoup plus facile car pour éliminer les cinq grandeurs internes X_k il suffit d'effacer leur nom sur le graphe, celui-ci restant inchangé. La règle de Mason permet une résolution globale en exprimant d'emblée la fonction de transfert S/E recherchée.
La formule de départ est:   T(p) = S/E = ST_k.D_k / D .

La première chose à faire avant d'appliquer la règle de Mason est de dénombrer toutes les boucles du graphe ainsi que tous les chemins directs allant de l'entrée à la sortie.
Une boucle est constituée d'une succession de chemins permettant de partir d'un nœud et d'y revenir sans jamais passer deux fois par un même nœud.
Remarque: Aucune boucle ne peut passer par le nœud d'entrée, puisqu'il n'y a pas d'équation exprimant cette grandeur (l'entrée est une grandeur imposée de l'extérieur par l'utilisateur du processus).
Un chemin direct est constitué d'une succession de chemins permettant de partir du nœud d'entrée pour arriver au nœud de sortie sans jamais passer deux fois par un même nœud.
Examinons le graphe du paragraphe 5.1.:   Il y a 7 boucles et 3 chemins directs.
Boucles:
b₁ de X₁ à X₂, retour à X₁. La transmittance de cette boucle est: b₁ = - b.i (on fait le produit des fonctions de transfert de chaque chemin qui constitue la boucle). Remarque: la majorité des boucles ont une transmittance négative (contre-réactions)
b₂ de X₂ à X₃, retour à X₂.     b₂ = - c.j
b₃ de X₃ à X₄, retour à X₃.     b₃ = - d.k
b₄ de X₄ à S, retour à X₄.     b₄ = - e.l
b₅ de X₅ à X₄, retour à X₅.     b₅ = - g.m
b₆ de X₃ à X₄ puis à S, retour à X₃.     b₆ = - d.e.n
b₇ de X₅ à X₂, puis à X₃ puis à X₄, retour à X₅.     b₇ = +h.c.d.m
Chemins directs:
T₁ par les nœuds E, X₁, X₂, X₃, X₄, S. Fonction de transfert de ce chemin direct: T₁ = a.b.c.d.e
T₂ par les nœuds E, X₅, X₄, S.     T₂ = f.g.e
T₃ par les nœuds E, X₅, X₂, X₃, X₄, S.     T₃ = - f.h.c.d.e

Revenons à la règle de Mason: T(p) = S/E = ST_k.D_k / D   avec:
D = déterminant du graphe =  1  -  Sb_i  +  Sb_i.b_j  -  Sb_i.b_j.b_k  + .....
C'est une somme de produit de transmittances. Le produit b_i.b_j correspond au produit de deux boucles disjointes, c.à.d. qui n'ont aucun nœud commun. De même b_i.b_j.b_k correspond au produit de trois boucles disjointes.
T_k est la transmittance d'un chemin direct et D_k est le déterminant mineur relatif à ce chemin.
D_k se calcule comme D mais après avoir supprimé du graphe tous les nœuds empruntés par le chemin T_k.
D_k a toujours une expression simple car il ne reste pas ou peu de boucles disjointes d'un chemin direct.

Application de la règle de Mason à notre exemple du paragraphe 5.1.
D = déterminant du graphe =  1  -  Sb_i  +  Sb_i.b_j  -  Sb_i.b_j.b_k  + .....
b₁ = - b.i     b₂ = - c.j     b₃ = - d.k     b₄ = - e.l     b₅ = - g.m     b₆ = - d.e.n     b₇ = + c.d.h.m
Combinaisons de deux boucles disjointes: 1.3   1.4   1.5   1.6   2.4   2.5
Combinaisons de trois boucles disjointes: aucune. D'où:

D = 1 + b.i + c.j + d.k + e.l + g.m + d.e.n - c.d.h.m + b.d.i.k + b.e.i.l + b.g.i.m + b.d.e.i.n + c.e.j.l + c.g.j.m

T₁ = a.b.c.d.e     D₁ = 1   (il n'y a aucune boucle disjointe du chemin T₁).
T₂ = e.f.g     D₂ = 1 + b.i + c.j   (les boucles 1 et 2 sont disjointes du chemin T₂).
T₃ = - c.d.e.f.h     D₁ = 1   (il n'y a aucune boucle disjointe du chemin T₃).

ST_k.D_k = a.b.c.d.e + e.f.g(1 + bi + cj) - c.d.e.f.h

Il ne reste plus qu'à faire le rapport ST_k.D_k sur D et nous avons déterminé sans trop de mal la fonction de transfert S/E.