Nous voulons déterminer l'expression de la sortie y(t) d'un système (dont le fonctionnement est régi par une équation différentielle connue) soumis à une entrée de commande x(t) donnée. La solution est très facile à exprimer dans le monde symbolique:
Y(p) = X(p).T(p) où X est l'image de x, Y l'image de y et T la fonction de transfert du système (image de l'équation différentielle).
La méthode des « résidus » permet d'exprimer y(t):
y(t) = SRésidus de H(p)
avec H(p) = T(p).X(p).ept
Les pôles de H(p) se décomposent en n pôles de T(p) et k pôles de X(p) (souvent k=1). Il vient:
y(t) = S1à n résidus de H(p) + S1à k résidus de H(p)
relatifs aux pôles de T(p) relatifs aux pôles de X(p)
= yT(t) + yP(t)
Si le système est stable, les pôles de T(p) sont à partie réelle négative et les termes epit tendent vers 0 quand t tend vers l'infini.
Ainsi yT(t) est un terme transitoire alors que yP(t) est le terme permanent: y(t) = yT(t) + yP(t).