Ce que l'on vient d'étudier au chapitre précédent conduit à une expression générale d'une fonction de transfert d'ordre n:
i représente la classe du système (nombre d'intégrateurs).
Ainsi une fonction de transfert quelconque peut s'étudier comme étant i intégrateurs en cascade avec un système de classe 0 d'ordre n-i.
Le dénominateur de cette fonction de transfert de classe 0 est un polynôme de degré n-i.
Ce polynôme se factorise en facteurs du premier degré et en facteurs du second degré.
Par exemple: un polynôme du 5ème degré se factorise soit (s'il existe 5 racines réelles) en 5 facteurs du premier degré, soit (s'il n'existe que 3 racines réelles) en 3 facteurs du premier degré et un facteur du second degré, soit (s'il n'existe qu'une racine réelle) en un facteur du premier degré et deux facteurs du second degré:
En effectuant le produit de facteurs on retrouve bien sûr le polynôme (1 + b1p + b2p2 + ..... + bn-ipn-i).
On peut maintenant décomposer la fraction en une somme d'éléments simples et ceci sans avoir à factoriser le numérateur:
On voit donc qu'une fonction de transfert quelconque de classe 0 est en fait une somme de fonctions de transfert du premier ordre et du second ordre. Donc la réponse de ce système sera une somme de réponses de systèmes du premier et du second ordre. De plus:
Cp est la fonction de transfert d'un dérivateur. Il ne reste donc plus comme éléments simples que les deux fonctions de transfert élémentaires:
du premier ordre: |  | et du second ordre |  | . |
Nous pouvons donc conclure que la fonction de transfert d'un système linéaire, aussi compliqué soit-elle, pourra toujours s'étudier en associant des fonctions de transfert élémentaires. Exemple:
Nous avons rencontré dans ce paragraphe cinq éléments simples auxquels il faut ajouter le retard pour être tout à fait général.
Les six éléments simples sont donc:
le gain K, l'intégrateur 1/p, le dérivateur p, le premier ordre 1/(1+tp), le second ordre 1/(1+ap+bp2), et le retard e-Tp.
Avec ces six éléments simples on peut donc tout faire, c'est-à-dire étudier la réponse d'un système linéaire quelconque.
Fin du chapitre 2
Le chapitre suivant va donc consister à étudier en détails les réponses temporelles de ces systèmes élémentaires.
Les réponses du gain et du retard étant évidentes, on ne s'intéressera qu'aux réponses du dérivateur, de l'intégrateur, du premier ordre et du second ordre. Ces réponses sont données dans la table de Transformées de Laplace.
