Théorème de Koenig, nouvelle méthode de calcul
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Soit X une Variable Aléatoire (VA) dont la loi est connue.
X(Ω) = {x1 ; x2 ; ... ; xn} et l'on connait p1= P(X=x1), p2= P(X=x2),..., pi= P(X=xi), ..., pn= P(X=xn), avec p1+p2+...pn=1.
Nous admettons que la variance de la VA X est aussi égale à :
V(X)= E(X2)-[E(X)]2
Ce qui donne :
Cette dernière formule est plus facile à utiliser lors d'un calcul sans logiciels ou sanscalculatrice disposant de fonctions statistiques.
On peut s'en souvenir en la décrivant comme "la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne".
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Reprenons l'exemple de la tombola dont nous rappelons la distribution ( ou loi).
xi |
pi |
0 | 0,84 |
2 | 0,10 |
10 | 0,05 |
50 | 0,01 |
Total | 1 |
Nous avons calculé E(X)= 1,2 €
Reprenons le calcul de la variance de la VA "tombola", en utilisant la formule de Koenig :
V(X)= E(X2)-[E(X)]2= [02 x 0,84 + 22 x 0,10 +102 x 0,05 + 502 x 0,01]- 1,22 = 28,96.