Une loi classique : la loi Binomiale
Conditions d'obtention, définition
- On dispose d'une expérience aléatoire répétée n fois, chaque expérience étant indépendante des autres,
- Pour chacune des expériences, on s'intéresse à la réalisation ou non d'un évènement A (lié à l'expérience) de probabilité connue à l'avance p. P(A)=p,
- On considère la variable aléatoire X égale au nombre de réalisations de l'évènement A au cours des n expériences,
Alors X suit la loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n,p).
L'univers image est Ω= {0 ; 1 ; 2 ; ... ; n} et, en posant q= 1-p,
(Revoir à cette occasion le mode de calcul des combinaisons, cours sur les dénombrements du même auteur).
Vous pouvez visualiser les représentations graphiques des différentes lois binomiales en suivant ce lien :
Remarquons que pour la loi binomiale, comme pour l'exemple de la tombola on dispose aussi du tableau de la distribution, mais ce n'est pas absolument indispensable, puisque nous disposons de la formule qui permet de calculer chaque valeur de probabilité lorsqu'on en a besoin.
Au lieu de marquer toutes les valeurs des probabilités, on indique comment les calculer si nécessaire. Nous verrons dans les chapitres suivants que nous utiliserons largement ce procédé.
Exemple : l'entreprise de transports
Une entreprise de transports possède 8 camions. Chaque camion a chaque jour la probabilité 0,98 de démarrer.
a) On voudrait savoir quelle est la probabilité d'avoir aujourd'hui 6 camions exactement qui démarrent.
b) On voudrait savoir quelle est la probabilité d'avoir aujourd'hui au moins 6 camions qui démarrent.
Exemple : le contrôle de production
Une usine située dans un lointain pays fabrique un médicament générique. Le procédé de fabrication n'est pas parfait et on sait qu'une boîte de ce médicament a une probabilité égale à 0,03 d'être défectueuse (source Médisite, article "Nos médicaments fabriqués à bas prix").
On teste 10 boîtes de ce médicament. Calculer la probabilité qu'il y en ait au plus une défectueuse.
Propriétés
Soit X une VA suivant une loi binomiale B(n, p).
Nous admettons :
- E(X)=np
- V(X)=npq