La méthode de Nyquist utilisant une représentation graphique de T(jω), connue sous le nom de diagramme de Nyquist, nous commencerons par l'étude de ce diagramme.

5.1.a Diagramme de Nyquist

Un diagramme de Nyquist est la représentation, dans le plan complexe, de l'image d'une fonction de transfert, T(jω), quand la pulsation ω varie. Il s'agit donc d'une courbe paramétrique.

Quelques exemples illustrent l'allure de ces diagrammes. Dans les exemples qui suivent, nous avons limité la représentation des courbes aux valeurs positives de la pulsation ω, toutes les fonctions de transfert représentant un système physique sont symétriques : la partie réelle est une fonction paire de ω, la partie imaginaire une fonction impaire de ω (symétrie par rapport à l'axe réel).

Un diagramme d'une fonction du premier ordre :

Un diagramme d'une fonction du deuxième ordre avec m = 1 et m = 0.1 (attention, les échelles ne sont pas les mêmes) :

Une fonction d'ordre 4 et la même à laquelle on a rajouté un intégrateur pur :

5.1.b Le critère : Un lien entre l’analyse harmonique en boucle ouverte et la transformée de Laplace en boucle fermée

Le critère de Nyquist établit une relation entre le nombre de pôles à partie réelle positive de la fonction de transfert en boucle fermée, et la place du diagramme de Nyquist de la fonction de transfert en boucle ouverte par rapport au point critique « -1 » du plan complexe.

Nous nous contenterons d'une version simplifiée du critère, qui s'applique à des systèmes stables en boucle ouverte (un contre exemple célèbre est l'asservissement en position verticale d'un pendule inversé) :

Pour que le système soit stable en boucle fermée, le diagramme de Nyquist de la fonction de transfert en boucle ouverte ne doit pas entourer le point critique (-1).

5.1.c L’exemple du troisième ordre

Lors de l'étude du plan des pôles, nous avons vu un exemple de fonction de transfert simple du troisième ordre. Nous reprenons ce même exemple avec la méthode du diagramme de Nyquist.

Les deux diagrammes ci-dessus (Spice) sont tracés pour deux valeurs de gain en boucle ouverte différentes, 5 et 15. Pour la première de ces valeurs le système en boucle fermée sera stable, pour la seconde, le diagramme entoure le point critique, le système en boucle fermée sera donc instable.

Nous retrouvons, évidemment, ici les conclusions de l'étude du plan des pôles (système stable pour T₀ < 10).

Ci-contre(scilab) : le tracé pour T₀ = 10.

5.1.d Retard pur

Le diagramme de Nyquist d'un intégrateur pur est très simple : il s'agit d'un cercle dont le centre est l'origine du plan complexe, et le rayon le gain statique en boucle ouverte :

Le tracé ci-dessus correspond à un gain statique égal à 2 ; le diagramme de Nyquist entoure nettement le point critique, Le système correspondant est donc instable en boucle fermée.

5.1.e Retard et intégrateur

Un dernier exemple est intéressant à tracer, il permet de modéliser de façon relativement simple de nombreux systèmes : la fonction de transfert obtenue en associant un intégrateur et un retard pur.

Les courbes obtenues (spice) sont des spirales qui s'enroulent autour de l'origine. Dans l'exemple ci-dessus, l'une des fonctions de transfert correspond à un système stable en boucle fermée (w_I = 100), l'autre à un système instable (w_I = 200).

Une simulation temporelle de la réponse à un échelon confirme l'analyse faite au moyen du critère de Nyquist ; le premier système présente un régime transitoire oscillatoire amorti, tandis que le second est instable.