La fonction de transfert
du bloqueur peut être assimilée à un retard
pur d’une demi-période d’échantillonnage (cette
approximation est d’autant plus justifiée que la fréquence d’échantillonnage
est grande devant la bande passante du système). Cette corres-pondance permet
de justifier que même un premier ordre peut être déstabilisé s’il est commandé
numériquement.
Expression
d’un transfert par approximation numérique
Méthode d’Euler(rectangle arrière):
L’opération dérivée est équivalente à , l’opérateur de Laplace peut donc être interprété comme .
Exemple : transfert
PID continu non filtré
algorithme
PID correspondant
soit
Approximation de Tustin(ou méthode des trapèzes)
Le changement de variable
peut s’écrire d’où
.
Cette approximation est
très utilisée car les réponses harmoniques de la solution analogique et de son
équivalent numérique sont quasiment superposées sur le domaine pour un choix judicieux de la période
d’échantillonnage (voir tableau ci-dessous).
Invariance indicielle
Pour effectuer cette
correspondance, nous partons de la fonction de transfert analogique à réaliser en version numérique .
A sa sortie, le signal
échantillonné est obtenu avec un échantillonneur, à son entrée le signal
numérique est alors l’entrée d’un bloqueur d’ordre zéro. Le nom invariance
indicielle correspond au fait que si l’entrée numérique de cette réalisation
est une succession d’impulsion unité, la sortie échantillonnée coïncide avec
l’échantillonnage de la réponse indicielle unitaire du transfert continu.
Nous retrouvons une
formule déjà présentée : .
Choix de la période
d’échantillonnage
Au delà du théorème de
Shannon qui impose de choisir une période d’échantillonnage où représente
la plus grande fréquence du signal continu échantillonné.
Le tableau ci-dessous
donne quelques valeurs pratiques de choix de la période
d’échantillonnage : soit en fonction du domaine physique d’application,
soit en fonction du modèle du procédé d’après La régulation industrielle JM Flaus
Hermès 2000 et Commande des systèmes I. Landau Hermès Lavoisier 2002.
