Utilisations de la loi Normale
Un multitude d'utilisations
La loi Normale ou de Gauss est très utilisée. Il existe des raisons mathématiques à cela (convergence en probabilité notamment) que nous ne développerons pas ici.
Signalons quelques phénomènes qui obéissent à la loi Normale :
- quasiment tout ce qui est humain (taille, poids, pousse des cheveux, des ongles, paramètres biologiques, durée du sommeil, etc),
- au delà, quasiment tout le vivant ( taille et poids des graines, vitesse de pousse, rendement à l'hectare, poids des animaux, etc),
- et encore toute la production industrielle de masse (prenons des balles de tennis, donc le poids, la résistance à l'usure, la pression, etc),
- La loi Normale est aussi utilisée comme approximation de la loi Binomiale lorsque la loi de Poisson ne convient plus, ou moins bien.
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La taille des hommes
La taille des français de genre masculin suit une loi Normale de moyenne 179 cm et d'écart type 10 cm.
Un portique de sécurité mesure 203 cm de haut.
Calculons la probabilité qu'un français pris au hasard passe sous le portique sans se cogner la tête ( et sans se baisser !!!)
Le poids des poulets
Les poulets label rouge sont élevés pendant environ 100 jours. Leur poids suit une loi Normale de moyenne 1,4 kg et d'écart-type 0,2 kg.
Calculer la probabilité qu'un poulet pris au hasard pèse plus de 1,7 kg.
La durée de vie d'un pneu
La durée de vie d'un pneu s'exprime en milliers de km.
Chez Pirono-Grua, fabricants de pneus bien connus, le modèle Spé-73 a une durée de vie qui suit une loi Normale de moyenne 20 000 km et d'écart-type 1500 km.
On choisit un pneu au hasard dans la production. Calculons la probabilité qu'il ait une durée de vie comprise entre 18000 et 22000 km.
La consommation d'une voiture
La consommation d'une voiture suit la loi Normale de moyenne 6 litres pour 100 km parcourus et d'écart-type 1,2.
1) Calculons la consommation maximum atteinte avec une probabilité de 0,98.
2) Calculons entre quelles valeurs la consommation se situera avec une probabilité de 0,95 au moins ; on choisira le cas particulier d'un intervalle centré en 6.
Loi Normale comme approximation de la loi Binomiale
Soit X une Variable Aléatoire suivant la loi Binomiale B(n ; p).
La correction de continuité
Lorsqu'on réalise une approximation d'un loi discrète (Binomiale) par une loi continue (Normale) il vaut mieux effectuer une correction de continuité.
En effet p([n1 ; n2]) ≠ p(]n1 ; n2[) pour une loi discrète,
et p([n1 ; n2]) = p(]n1 ; n2[) pour une loi continue.
On décide de corriger en remplaçant
p([n1 ; n2]) calculé avec la loi Binomiale par p([n1-0,5 ; n2+0,5]) calculé avec la loi Normale,
p(]n1 ; n2[) calculé avec la loi Binomiale par p([n1+0,5 ; n2-0,5]) calculé avec la loi Normale.
Exemple :
Un atelier fabrique des pièces chacune ayant une probabilité égale à 0,2 d'être défectueuse (évènement D).
On contrôle 100 pièces. Calculer la probabilité que le nombre de pièces défectueuses soit compris entre 18 et 23, bornes comprises.