A) Dipôles équivalents

Ce théorème est basé sur le principe d'équivalence des dipôles : deux dipôles sont dits équivalents si lorsqu'on leur applique la même d.d.p, ils sont parcourus par le même courant.

Exemple 1

Une source réelle de tension peut être équivalente à une source de courant (fig.5). e et Z étant données, calculons i_s et Z' pour qu'il y ait équivalence.

En circuit ouvert, I = I' = 0 ; V = E pour la source de tension et V = Z'.I_s pour la source de courant. donc

E = Z'.I_s .

En court-circuit, V = 0 ; V = E - Z.I pour la source de tension et I' = I_s pour la source de courant. donc

E / Z = I_s . Il vient donc I_s = E / Z et Z = Z'.

 

Exemple 2

Etudions les deux dipôles ci-contre alimentés sous une tension sinusoïdale de pulsation w. L'équivalence se résume ici à l'égalité des impédances. Calculons R' et L' pour que le deuxième dipôle soit équivalent au premier.

B) Enoncé du théorème

Dans un réseau, on peut remplacer un dipôle par un autre dipôle équivalent

 

C) Exemples

Exemple 1

Dans le réseau ci-dessous en régime continu, nous voulons exprimer la tension u.

Remplaçons la source de la branche AB par une source de tension équivalente de f.é.m. E_s = R'.I_s et de résistance interne R'. On peut alors remplacer les deux sources de tension en série par une seule source de f.é.m. E₁ = E+E_s et de résistance R₁ = R+R'.

Remplaçons les sources des branches AM et BM par des sources équivalentes :

I_s1 = E₁/R₁ ; R_s1 = R₁ ; I_s2 = E/R" ; R_s2 = R" . L'intensité i_s1 - i_s2 alimente la résistance équivalent R_eq telle que 1/R_eq = 1/R_s1 + 1/R_s2 + 1/R"' ; il vient donc u = R_eq.(i_s1-i_s2).

Exemple 2

 

Nous voulons calculer la d.d.p. u lorsque l'interrupteur K est ouvert puis lorsqu'il est fermé

.

Substituons à l'interrupteur une f.é.m. E_k. Pour K ouvert, il y aura équivalence si i = 0 et pour K fermé, il y aura équivalence si E_k = 0. L'avantage de la méthode est d'avoir la même structure du réseau dans les deux cas.

Ecrivons la loi des mailles :

E = 3.R.(i'+i") + R(i+i") ; E = R.i' + 2.R.(i'-i) ; E_k + R.i + R.i'- 3.R.(i'+i") = 0

Soit :i + 3.i' + 4.i" = E/R ; -i + 3.i' = E/R ; -i + 2.i' +3.i" = E_k/R

En soustrayant les deux premières équations, on obtient 2.i + 4.i" = 0 soit i" = -i/2 ; la deuxième équation donne i' = E/3.R + i/3. En reportant ces équations dans la troisième équation, nous obtenons

Pour K ouvert; i = 0 donc E_k = 2.E/3 et u = E_k +R.i = 2.E/3

Pour K fermé, E_k =0 donc i = 4.E/11.R et u = R.i = 4.E/11.

D) Types d'applications

Le théorème de substitution s'applique :

- dans le cas où le circuit comporte des interrupteurs et que l'on désire faire l'étude pour les diverses combinaisons des états ouverts ou fermés. La substitution de f.é.m. aux interrupteurs permet d'avoir un seul réseau pour toutes les combinaisons (voir exemple 7).

- lorsque la substitution d'un dipôle permet de simplifier la structure du réseau. Par exemple dans un circuit résonnant parallèle, la substitution de l'exemple 5 permet d'avoir toutes les impédances élémentaires en parallèle y compris en tenant compte de la résistance de la bobine.