Dans cette partie, nous analysons ce qui se passe lorsqu'un rayon lumineux vient frapper une surface réfléchissante. Cette surface est pour l'instant considérée comme plane.

Nous essayons donc de suivre la trajectoire de la lumière qui va d'un point A vers un point C en passant par un point du miroir. Le point de réflexion sur le miroir est notée B. Le but est de déterminer la position du point B, en utilisant le principe de Fermat.

Le schéma, ci-dessous, nous permet de poser toutes les conditions ainsi que les notations utilisées dans la suite de la démonstration (cliquer ici pour télécharger cette animation au format executable Windows) :

REMARQUE: Sur ce schéma, on a le point rouge qui représente le sens de parcours de la lumière. Nous allons maintenant nous intéresser au calcul des chemins optiques sur les deux morceaux du trajet (c'est à dire entre A et B puis entre B et C).

• En ce qui concerne la distance AB : . (Détail mathématique ici ).
• Pour la distance BC : . (Détail mathématique ici ).
• Pour plus de simplicité dans la suite, nous allons calculer les sinus des angles i et i' : et . (Détails mathématiques pour obtenir ces résultats ici ).


• Maintenant que nous avons calculé nos distances, nous allons pouvoir déterminer le temps de parcours de l'onde lors du passage de A vers C via B :

Comme nous pouvons le constater, il a suffit d'additioner les deux distances et de diviser par la vitesse de propagation de l'onde. Nous pouvons ici diviser par la vitesse les morceaux du trajet car nous sommes dans un milieu homogène et isotrope. On rappelle pour cela que la vitesse correspond à une distance divisée par un temps.

Maintenant si nous voulons appliquer le principe de Fermat, il faut calculer le chemin extremum. Comme la seule grandeur qui peut varier est y (en effet seul le point B est inconnu), nous allons dériver notre expression par rapport à y et trouver la valeur de y qui va annuler cette expression. En effet, un extremum correspond à un maximum ou à un minimum, ce qui se traduit par une dérivée nulle.

• . Comme on peut le constater ici, certaines étapes du calcul ont été enlevées, elles n'apportent rien pour la compréhension, il ne s'agit que de calculs mathématiques (détail ici).


• Or d'après ce que l'on a posé précédemment, nous pouvons voir que cette expression se transforme en : sin(i)=sin(i').

A partir de cette expression, il n'y a qu'une valeur qui a une signification physique dans la mesure où l'on va considérer qu'il ne peut y avoir de lumière qui traverse le miroir. Et on trouve donc que dans le cas de la réflexion sur un miroir plan, l'angle de réflexion et l'angle d'incidence sont identiques.

En ce qui concerne les angles d'incidence et les angles de réflexion, on les mesure toujours par rapport à la normale au miroir, comme indiqué sur la figure précédente.