La loi géométrique

Icône de l'outil pédagogique Modèle de l'urne pour la loi géométrique

On dispose d'une urne contenant des boules blanches en proportion p (0<p<1) et des boules rouges en proportion 1-p = q. On effectue n tirages successifs avec remise de la boule dans l'urne.

X est la variable aléatoire égale au nombre de tirages qu'il a fallu effectuer pour obtenir la première boule blanche (on dit le rang du tirage de la première boule blanche ou le temps d'attente de la première boule blanche).



Icône de l'outil pédagogique Définition : loi géométrique

Une Variable aléatoire X suit une loi géométrique de paramètre p si l'on a :

  • X(Ω)=N*
  • Pour k appartenant à N*, P(X=k)= p×qk-1

Icône de l'outil pédagogique Espérance mathématique et variance

Nous admettons que, si X suit la loi géométrique de paramètre p :

  • E(X) = 1/p
  • V(X) =q/p2
Par exemple, si la proportion p de boules blanches dans une urne est de 0,1, cela veut dire qu'en moyenne, il faut atteindre le 10ième tirage avec remise pour avoir la première boule blanche.

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