Nous admettrons qu'une somme constituée d'un nombre infini de termes peut être finie et qu'en plus, le résultat peut être égal à un ...

Montrons le sur un exemple très simple :

Effectuons la somme 0,9 + 0,09 + 0, 009  + 0,0009 +...

Le résultat est alors égal à 0,9999999999....

Cette série de 9 ne s'arrête jamais. Montrons que ce nombre est égal à 1.

Effectuons la différence 1- 0,9999999...= 0,0000000...= 0

Nous venons de fabriquer une suite infinie de nombres tous positifs, dont la somme est finie et égale à 1.

 

Soit (U_n), n entier naturel différent de 0, une suite de nombres. On appelle (S_n) la suite définie par S_n = U_{1 +} U_{2 + ... +} U_n.

Si la limite de S_n quand n tend vers l'infini existe et est finie, alors on dira que la série [U_n] converge.

Par la suite, nous admettrons à chaque fois que cela sera utile que les séries envisagées convergent.

Remarquons que l'on écrit quelquefois que la série ΣU_n converge.

Une série qui ne converge pas diverge.