A) Cas général

Un réseau est alimenté par un générateur de f.é.m. de période T = 1/f. On veut étudier les grandeurs du réseau en fonction du temps. On aura successivement un régime transitoire dans lequel les grandeurs ne seront pas périodiques puis un régime permanent dans lequel toutes les grandeurs seront de période T.

Nous écrivons les équations du réseau et nous avons à résoudre une équation différentielle.

Si la f.é.m. présente des discontinuités ou si elle change de forme mathématique sur la période, nous devons d'abord découper la période en intervalles successifs sur lesquels la f.é.m. a une forme mathématique unique et continue : sur [0;t₁] e = e₁, sur [t₁;t₂] e = e₂,... , sur [t_n-1;t_n] e = e_n, sur [t_n;T] e = e_n+1

La forme de la solution générale de l'équation sans second membre ne dépend pas de e; seules changent les valeurs des constantes d'intégration. La solution particulière est fonction de la forme de e; nous devrons donc la calculer sur chaque intervalle. Connaissant l'état du réseau en 0^-, nous pouvons déduire les conditions initiales en 0⁺ et donc les constantes d'intégration sur le premier intervalle. Nous calculons alors les grandeurs en t₁^-. Nous devons alors calculer les grandeurs en t₁⁺ en utilisant la méthode générale du paragraphe 2 puis calculer les constantes d'intégration sur le deuxième intervalle. En procédant de même pour les intervalles suivants, nous pouvons calculer les grandeurs sur la première période. Nous continuons ainsi sur les périodes successives jusqu'à obtention du régime permanent, c'est à dire jusqu'à ce que les grandeurs deviennent périodiques.

Le calcul peut être très lourd et on utilisera le plus souvent un logiciel de simulation lorsqu'on désire étudier les régimes transitoire et permanent.

Exemple :

Etudions le réseau ci-contre alimenté à partir de t = 0 par une tension en créneau. Pour t < 0 toutes les grandeurs du circuit sont nulles. On donne T = 1 ms et a = 40 %.

On devra découper l'étude de chaque période en deux intervalles [0 ; a.T] sur lequel e (t) = E = 10 V et [a.T ; T] sur lequel e(t) = 0.

Les équations du réseau sont : e = R.i + v et i = C.dv/dt; nous en déduisons : v + R.C.dv/dt = e , équation différentielle du premier ordre sous forme canonique avec la constante de temps t = R.C = 330 µs.

La solution générale de l'équation sans second membre est . Le second membre étant constant sur chaque intervalle, la solution particulière est égale à e donc à 10 V sur [0 ; a.T] et à 0 V sur [a.T ; T] .

Sur [0 ; a.T] , v =; avec v(0) = 0, on obtient A = -10 V soit v = ;

en t = a.T, v = V₁ = 3,297 V.

Sur [a.T ; T] , v = ; avec v (a.T) = V₁, il vient A = V₁/= 23,606;

nous en déduisons v (T) = V₂ = 1,140 V.

Sur [T ; T+α.T], v =; avec v (T) = V₂ , on obtient A = (V₂-10)/V soit

A= -143,429 V ; en t = T+α.T, v = V₃ = 7,364 V.

Sur [T+α.T ; 2.T], v =; avec v(T+α.T) = V₃ , on obtient A = V₃/ soit A= 512,334 V ; en t = 2.T, v = V₄ = 1,195 V. Cette valeur étant différente de v (T), on n'a pas encore atteint le régime périodique permanent.

On continue de même; le tableau ci-dessous donne les résultats.

On voit que l'on atteint le régime périodique à la fin de la quatrième période.

La fig.9 donne l'allure des graphes :

B) Recherche du régime permanent

Le problème est plus simple à résoudre, si on ne cherche pas à étudier le régime transitoire mais seulement le régime permanent périodique.

Méthode analytique

La méthode consiste alors à étudier le système sur l'intervalle [n.T ; (n+1).T] en supposant n assez grand pour que le régime périodique soit atteint.

Pour simplifier le calcul on fera le changement de variable t' = t - n.T.

On suppose connues les variables d'état du système en t' = 0. On peut alors faire l'étude sur la période et calculer les valeurs des variables d'état en t' = T. Les signaux étant devenus périodiques, en écrivant pour chaque variable d'état y_i l'égalité y_i (0) = y_i (T), on pourra calculer les valeurs y_i (0).

Reprenons avec cette méthode, l'étude de l'exemple 4. Il y a une seule variable d'état v (t).

Donnons nous v (t'=0) = V_o.

Pour 0 < t' < a.T, e = E = 10 V et v(t) = ; la constante se calcule par V_o = 10 + A soit

v =; à la fin de l'intervalle :

Pour a.T < t' < T, e = 0 et v(t) = ; la constante se calcule par V₁ =

D'où v (T) = (V₁/X). . A la fin de l'intervalle v (T) = V₁.Y/X en posant Y = .

Ecrivons que v (t) est périodique soit v (0) = v (T); il vient (2) Vo = V₁.Y/X.

Les équations (1) et (2) permettent de calculer V_o et V₁ : Vo = 10.Y.(1-X)/X.(1-Y) = 1,198 V ;

V1 = (10.(1-X)/(1-Y) = 7,381 V.

Méthode harmonique

Les signaux étant périodiques en régime permanent, on peut utiliser la décomposition en série de Fourier de la f.é.m. du générateur et le théorème de superposition.

Soit ;

La composante continue de chaque grandeur se calcule en étudiant le réseau régime permanent continu avec

e = E_o; les condensateurs sont des circuits ouverts et les inductances pures des courts-circuits.

L'harmonique de rang n de chaque grandeur se calcule en étudiant le réseau en régime sinusoïdal permanent à la fréquence n.f avec e = e_n = . On peut alors utiliser la méthode complexe.

Etudions par exemple le réseau de l'exemple 3 en lui appliquant le signal e (t) en créneau de l'exemple 4 en choisissant une fréquence f = 10 kHz. On prendra R' = 500 W.

D'après le tableau du Chapitre 1.2, nous avons : avec E = 10 V.

En continu, L est un court-circuit et C un circuit ouvert donc u = 0 et j = 0 ; i = j' = αE/(R+R') = 6,67 mA ;

v = R'.j' = 3,33 V.

En régime sinusoïdal à la fréquence n.f :

Le tableau ci-dessous résume les résultats :

La fig.10 donne le résultat obtenu par simulation :

 

Comparaison des méthodes

La méthode analytique permet d'obtenir l'équation de chaque grandeur y (t). Elle permet donc un tracé direct des graphes.

La méthode de Fourier permet plus aisément le calcul des valeurs moyennes et efficaces de chaque grandeur : la valeur moyenne est la réponse en continu à E_o; la valeur efficace se calcule par :

Les calculs sont d'autant plus simples que les harmoniques ont une amplitude rapidement décroissante lorsque leur rang augmente.

La méthode analytique peut devenir compliquée à appliquer lorsque l'ordre de l'équation différentielle augmente et lorsque le nombre d'intervalles à étudier sur une période augmente.

Dès que l'ordre de l'équation dépasse 2, on ne sait pas la résoudre et il faut alors utiliser la méthode de Fourier.