A) Fonctions du premier ordre

Une fonction de transfert est dite du premier ordre si le degré en w ou f des polynômes au numérateur et au dénominateur est inférieur ou égal à 1.

Tous les tracés peuvent se déduire rapidement de ceux des fonctions élémentaires T₁, T₂ , T₃ et T₄.

Exemple 1

Soit la fonction ; cette fonction est du type avec T₁ = 3 ; T₂ = j.f/100 et T₃ = 1 + j.f/500.

Nous aurons donc : .

G₁ = 20log (3) = 9,54 dB et j₁ = 0° ; G₂ est représenté par la droite de pente +1 passant par [100 Hz ; 0] et j₂ = 90 °. Traçons d'abord le diagramme asymptotique de T₃ : pour f £ 500 Hz, le diagramme de gain est la demie droite G = 0 et pour f > 500 Hz, la demie droite de pente +1 passant par [500 Hz ; 0]; pour la phase on a 0 pour f £ 500 Hz, et 90° pour f > 500 Hz.

Sur la fig.5a, on a représenté en bleu le gain G₁, en vert le gain G₂, en orangé le gain asymptotique G_3asympt en pointillés rose le gain asymptotique G_5asympt = G₁+G₂+G_3asympt. La courbe en rouge donne la valeur exacte du gain

On constate que le gain asymptotique donne une très bonne approximation de G₅.

Sur la fig.5b on a représenté la phase asymptotique j_3asympt en pointillés roses et j_5asympt = 0+90 - j_3asympt en orangé. La valeur exacte de j₅ est représentée en rouge.

Exemple 2

Soit la fonction de transfert

Traçons d'abord les diagrammes asymptotiques avec le tableau ci-dessous :

Les valeurs pour T₆ se déduisent par différence des valeurs de T₃ et T₄ .

La fig.6 donne les graphes :

B) Fonctions du second ordre

Une fonction de transfert est dite du second ordre si le degré en w ou f des polynômes au numérateur et au dénominateur est supérieur à 1 inférieur ou égal à 2.

Un polynôme du deuxième degré de la variable j.w s'écrit sous la forme T = a + b.(j.w) + c(j.w)², avec a, b, c constantes réelles.

Si a = 0, T = b.(j.w).[1+ c(j.w)/b] produit de fonctions de type T₁, T₂ et T₃ . On sait donc tracer sa fonction de transfert

Si a ¹ 0, on peut le mettre sous la forme T = a.[1 + b'.(j.w)+c'(j.w )²] = a.T'.

Cherchons si on peut factoriser T' sous la forme du produit de deux fonctions de type T₃.

Cette condition sera en particulier toujours vérifiée si c' < 0.

 

Premier cas : factorisation en fonctions du premier ordre

Si la factorisation au numérateur et au dénominateur est possible sous forme de fonctions du premier ordre, on pourra tracer son diagramme de Bode suivant la méthode utilisée au paragraphe précédent.

Exemple 3

Soit la fonction ; le numérateur du premier degré est de la forme

T'₇ = 1+j.f/f₁ avec f₁ = 1 kHz. Le dénominateur est du deuxième degré avec

Pour construire le diagramme de Bode, on cherchera d'abord les asymptotes à l'aide du tableau suivant :

On peut alors tracer le diagramme de Bode

Deuxième cas : fonction ne pouvant être factorisée

Dans ce cas, il n'y a pas de méthode simple; on doit calculer le gain et la phase et faire le tracé.

Exemple 4

Soit la fonction ; on a b' = 0,1 et c' = 1 donc la fonction n'est pas factorisable.

La fig.8 donne le diagramme de Bode :