Dans l'étude des réseaux, il est souvent nécessaire de créer un modèle équivalent simple de toute ou partie du montage afin de simplifier son insertion dans une chaîne de traitement des signaux. Les théorèmes décrits dans ce paragraphe, permettent de remplacer toute la partie du réseau vu entre deux nœuds par un seul générateur.

A) Théorème de Thévenin

Soit un réseau dont nous isolons une branche AB constituée du dipôle passif D (fig.11a).

Définissons un premier état du réseau : on garde toutes les sources de R et on ajoute une f.é.m. e en série dans la branche AB (fig.11b). Réglons la valeur de e pour avoir un courant dans D i_o = 0. La d.d.p entre A et B est alors égale à v_o. La d.d.p aux bornes de D u_o est nulle.

Définissons un deuxième état du réseau: on supprime toutes les sources de R pour obtenir "le réseau rendu passif" Rp et on inverse la f.é.m. mise en série dans la branche AB (fig.11c); on a alors u₁ = e + v₁.

Le réseau passif Rp est équivalent à une impédance donc v₁ = -z_t.i₁

En superposant ces deux états, on obtient l'état initial.

On a donc i = i_o + i₁ = i₁ et u = u_o +u₁ = e+ v₁ = v_o -z_t.i₁ = v_o - z_t.i.

On peut donc modéliser le réseau R par une f.é.m. e_t = v_o en série avec l'impédance z_t.

 

Théorème de Thévenin : un réseau vue entre deux points A et B peut être modélisé par un générateur de tension; la f.é.m du générateur est égale à "la tension à vide" entre A et B, c'est à dire la tension obtenue en ouvrant la branche AB; l'impédance interne du générateur est égale à l'impédance vue entre A et B du réseau rendu passif, c'est à dire du réseau R dans lequel on a court-circuité les f.é.m. des générateurs de tension et ouvert les branches contenant une source de courant.

B) Théorème de Norton

D'après le théorème de substitution, nous pouvons remplacer le générateur de Thévenin de la fig.11.d par le générateur de courant de la fig.12.

Nous avons I_n = E_t / Z_t et Z_n = Z_t.

Si nous court-circuitons la branche AB, nous avons i = i_n.

Nous pouvons énoncer le théorème

Théorème de Norton : un réseau vue entre deux points A et B peut être modélisé par un générateur de courant; le courant du générateur est égal au courant de court-circuit entre A et B, c'est à dire le courant obtenu en court-circuitant la branche AB; l'impédance interne du générateur est égale à l'impédance vue entre A et B du réseau rendu passif, c'est à dire du réseau R dans lequel on a court-circuité les f.é.m. des générateurs de tension et ouvert les branches contenant une source de courant.

C) Exemples

Exemple 1

Soit le circuit de la fig.13a en régime continu. Cherchons à modéliser le réseau vue entre A et B. Pour calculer la f.é.m. du générateur de Thévenin, on ouvre la branche AB (fig.13b).

On a alors :E - r.(i+i') - 2.R.i = 0 ; 2.R.i - 5.R.i' =0 ; E_t + R.i - 2.R.i' = 0.

Nous en déduisons i = 2,5.i' ; i = E/(2.R+1,4.r); i' = 0,4.E/(2.R+1,4.r); E_t = 0,2.R.E/(2.R+1,4.r);

Pour calculer la résistance interne R_t du générateur, dessinons le réseau passif (E = 0) vu entre A et B (fig.13c).

Nous n'avons pas une simple association série parallèle qui pourrait être réduite facilement à une seule résistance. Pour calculer R_t, on pourrait appliquer une tension continue E' entre A et B et exprimer par la loi des mailles l'intensité i' entrant par le point A; on aurait alors R_t = E'/i'.

On peut aussi appliquer la transformation de Kennely au triangle ACD pour le transformer en une étoile. Les formules d'équivalence donnent : R_a = R²/(2.R+r) ; R_c = R_d = R.r/(2.R+r) ; on obtient la fig.13d; sur cette figure, il vient R_t = R_a + (2.R+ R_c ). (3.R+ R_d )/ (5.R+ R_c + R_d).

Exemple 2

Etudions le réseau ci-contre en régime sinusoïdal à la fréquence f = 500 Hz.

On donne . Cherchons le générateur de Norton équivalent au réseau vu entre A et B.

Pour exprimer le courant source, nous court-circuitons A et B (fig.14b).

Pour calculer l'impédance Z_n, nous court-circuitons e et nous ouvrons la source de courant (fig.14c).

D) Types d'applications

Les théorèmes de Thévenin et Norton ne servent pas directement dans les calculs de réseau ; ils permettent plutôt une modélisation d'un réseau ou d'une partie de réseau. Par exemple, en électronique, lorsqu'on a plusieurs fonctions en cascade, l'application du théorème à chaque fonction permet l'étude fonction par fonction.

On appliquera le théorème de Norton ou celui de Thévenin en fonction du circuit. Le calcul de l'impédance interne étant le même dans les deux cas, le choix dépendra de savoir s'il est plus facile de calculer i_n ou e_t; cela dépendra donc de la structure du réseau et de la simplification la plus grande apportée soit par le court-circuit de AB soit par l'ouverture de AB.

Lors du calcul de l'impédance interne, il faut faire attention à bien représenter le réseau passif vu entre A et B. Pour cela on commencera par placer tous les nœuds du réseau en mettant A à gauche et B à droite. Ensuite on placera chaque impédance entre les nœuds correspondant à ses deux pôles. Le réseau obtenu n'est pas toujours une association en série et/ou parallèle d'impédances; on devra donc souvent alimenter le réseau entre A et B par une f.é.m. e' et calculer le courant absorbé i'; on calcule ensuite Z_t = Z_n = E'/I'.