A) Définitions

Un réseau est dit linéaire si tous ses dipôles sont linéaires, c'est à dire si la relation courant - tension peut être décrite par une équation linéaire du type v (t) = a.i (t) + b, dv/dt = a.i (t), v (t) = b.di/dt, a, et b étant des constantes.

On étudiera uniquement le régime permanent, c'est à dire le régime atteint lorsque toutes les intensités sont égales à des combinaisons linéaires des tensions et courants sources.

B) Cas du régime permanent continu

Le régime permanent est atteint lorsque toutes les grandeurs du réseau sont devenues continues, c'est à dire constantes dans le temps.

Dans ce cas, les inductances pures se comportent comme des courts-circuits (v = L.di/dt = 0) et les condensateurs comme des circuits ouverts (i = C.dv/dt = 0). Les équations du réseau sont alors des équations linéaires à coefficients constants.

Exemple 2

Soit le réseau de la figure 3. Ce réseau comporte 3 noeuds et 5 branches avec seulement 4 courants inconnus.

Il nous faut 4 équations : 2 de noeuds et 2 de mailles.

(5) i₁ = i₂ + i₃ ; (6) i₃ + i_s1 = i_{4 ;} (7) E - R₁.i₁ - R₂.i₂ = 0 ; (8) R₂.i₂ - R₃.i₃ - R₄.i₄ = 0

La méthode générale de résolution d'un système de n équations à n inconnues consiste à utiliser n-2 équations pour exprimer n-2 inconnues en fonction des deux restantes . En reportant ces expressions dans les deux équations non utilisées, on arrive à un système de deux équations à deux inconnues que l'on peut résoudre par substitution ou élimination.

Dans l'exemple 2, (5) donne (9) i₃ = i₁ - i₂ ; (6) et (9) donnent (10) i₄ = i_s1 + i₁ - i₂ ; en utilisant (9) et (10), l'équation (7) donne :

(11) R₁.i₁ + R₂.i₂ = E et l'équation (8) donne (12) R₂.i₂ - R₃.(i₁ - i₂) - R₄.(i_s1 + i₁ - i₂) = 0 .

Nous en déduisons : (11) R₁.i₁ + R₂.i₂ = E et (12) -(R₃ + R₄).i₁ + (R₂+R₃+R₄).i₂ = R₄.is₁ .

(9) donne alors i₃ = i₁ - i₂ = -0,315 A et (10) i₄ = i_s1 + i₁ - i₂ = 0,185 A. La d.d.p. aux bornes de la source de courant est v_s1 = R₄. i₄ = 87 V.

C) Cas du régime sinusoïdal

Nous étudions un réseau dont toutes les sources sont sinusoïdales et de même fréquence. Ceci permet d'étudier le réseau par la méthode complexe.

Nous appliquons la loi des noeuds et la loi des mailles aux valeurs efficaces complexes des tensions et des courants; chaque dipôle passif est modélisé par son impédance complexe.

Exemple 3

Nous étudions le réseau de la fig.4.

Il y a 3 noeuds et 5 branches avec 4 courants inconnus. On devra écrire 2 équations de noeuds et 2 équations de maille :