A) Définition

Soit une fonction sinusoïdale de pulsation w : a = A√2.cos (w.T+α). Nous luis associons le nombre complexe . Nous avons a (t) = R (a).

Si nous prenons une autre fonction de même fréquence b (t) = B√2.cos (w.t+b); suivant la même règle, nous lui associons le nombre complexe b. Nous pouvons calculer la somme des ces fonctions

c (t) = a (t) + b (t) en utilisant les valeurs complexes associées : c (t) = R (a)+R (b) soit c (t) = R (a+b) par définition de l'addition. Nous avons donc c = R(c) avec c = a + b. Nous pouvons encore simplifier le calcul :

Nous pouvons simplifier toutes les expressions par à condition de ne travailler qu'avec des fonctions de même fréquence.

Nous définissons la valeur complexe A associée à la fonction a (t) comme le nombre complexe ayant pour module la valeur efficace et pour argument la phase à l'origine :

a(t) = A√2.cos(w.t+a) est associé à A = A.exp (j.a)

Dans l'ensemble des fonctions sinusoïdales de fréquence f fixe, nous pouvons déduire la valeur instantanée de la valeur complexe par la même règle.

B) Opérations

Nous avons vu ci-dessus que la fonction somme de deux grandeurs sinusoïdales de même fréquence se déduisait de la somme des valeurs complexes associées.

La fonction dérivée de a (t) est a' = -w.A√2.cos (w.T+α) ou a' = w.A√2.cos (w.t + a + π/2) ; nous lui associons la valeur complexe A' de module A.w et d'argument a + π/2 :

La dérivation se traduit en notation complexe par la multiplication par j.w.

Soit p (t) la primitive de a (t) ; nous avons a = dp /dt. Si nous associons la valeur complexe P à la primitive, nous en déduisons A = j.w.P soit P = A / j.w.

L'intégration d'une fonction se traduit en notation complexe par la division par jw.

Ces deux dernières propriétés sont très importantes en électricité puisque les équations écrites en valeurs instantanées font intervenir dérivée et primitive des grandeurs; ce sont donc des équations différentielles de résolution difficile. En régime sinusoïdal, l'emploi de la notation complexe transforme les équations différentielles en équations linéaires beaucoup plus simples à traiter.

Reprenons l'exemple traité au chapitre 2 : calculer la fonction d (t) = 2π(t) +1,5.b (t) -2,5.dc/dt avec a (t) = 20√2.cos(2.t+5π/6) ; b (t) = 10√2.sin (2.t) ; c (t) = 5√2.cos(2.t - 3π/4), p (t) primitive de a (t).

A a (t) nous associons ,

A b = 10√2.cos (2.t + π/2), nous associons

A c (t) nous associons .

A d (t) est associé le nombre complexe D tel que ;

avec w = 2 rd/s, il vient :

en transformant les nombres sous la forme rectangulaire,

D = 10 + j.17,32 + 15.j - 17,68 - j.17,68 = -7,76 + j.14,64 soit sous forme polaire :

Nous en déduisons la valeur instantanée d (t) = 16,53.√2.cos (2.t + 2,054 ).