A) Définitions

Un nombre complexe est défini à partir de deux nombres réels :

Sous forme cartésienne ou rectangulaire z = x + j y ; x = R (z) est la partie réelle et I (z) = y est la partie imaginaire .

Sous forme polaire : z = r.exp (jθ) ; || z || = r est le module et arg z = θ l'argument. exp (j.θ) est égal à cos (θ) + j.sin (θ) . On notera cette forme en abrégé .

Pour passer d'une forme à l'autre on a :

Transformation R è P : et tg (θ) = y /x avec -π/2 < θ < π/2 si x > 0 et π/2< θ <3π/2 si x <0

(Attention la tangente définit l'angle à p près alors que l'on veut sa détermination à 2.π près.)

Transformation P et R : x = r.cos (θ) et y = r.sin (θ).

On peut utiliser pour ces transformations les touches correspondantes de la calculatrice.

B) Opérations

Egalité de deux nombres complexes : z = z'; elle implique deux égalités de nombres réels. Sous forme rectangulaire on doit avoir simultanément R (z) = R (z') et I (z) = I (z') et sous forme polaire ||z|| = ||z'|| et arg z = arg z'.

Conjugué : le nombre complexe z* conjugué de z est tel que z*= x - j y ou z = r.exp (-j.θ).

Somme algébrique : elle se fait en ajoutant d'une part les parties réelles et d'autre part les parties imaginaires : z + z' = (x + x') + j (y + y').

Notons que z + z* = 2 R (z) et z - z*= 2 I (z).

Produit : le produit se calcule en faisant le produit des modules et la somme des arguments :

z.z' = r.r' exp [j.(q + q')] ou en effectuant le produit des formes rectangulaires : z.z' = (x.x' - y.y') + j.(x.y' + y.x').

Notons que z.z* = r² = x² + y².

. Quotient : le quotient se calcule en faisant le quotient des modules et la différence des arguments : z / z' = (r / r') exp [j.(q -q ')]. Il peut aussi se faire mais de façon plus compliquée avec la forme rectangulaire : z / z' = (x + j.y)/(x - j.y). Multiplions numérateur et dénominateur par z'*, il vient z.z'* / z'.z'* = (x + j.y)(x'- j.y')/(x'^² + y'^² ) soit

z / z' = [(x.x' + y.y')+j (y.x'-x.y')] / (x'^² + y'^²).

Pour effectuer une des opérations, il est préférable de mettre les nombres sous la forme la plus appropriée en utilisant les transformations R è P et P è R sur la calculatrice.

Par exemple, nous voulons calculer . Pour effectuer la somme au numérateur, nous utilisons la transformation P è R : = 8,66 + j.5 et = 10 + j.17,32.

Le numérateur est donc N = 18,66 + j 22,32 . Pour faire le quotient, nous utilisons la forme polaire: et soit .