Projetons orthogonalement sur Ox’ les trois vecteurs respectivement en a, b et s. Le théorème des projections implique soit s(t) /√2 = [a (t)+b (t)]/√2. Le vecteur est donc le vecteur de Fresnel associé à la somme s (t) des fonctions a et b. Nous en déduisons graphiquement la valeur efficace

S = et la phase à l’origine . Nous pouvons alors écrire : s(t) = a(t) + b (t) = S.√2.cos (w.t+g).

La méthode des vecteurs de Fresnel permet donc de calculer simplement la somme de deux fonctions sinusoïdales de même fréquence.

Pour nous affranchir de l'imprécision due à la construction graphique, nous pouvons utiliser les relations suivantes dans un triangle quelconque représenté fig.3 :

En appliquant par exemple ces relations au triangle ABS de la fig.2, il vient :

B) Dérivation

Soit a’(t) = da /dt la fonction dérivée de a(t). Nous avons a' = -w.A_max sin (w.T+α) soit

a' (t) = w.A_max cos (w.t + a +π/2). La fonction dérivée a donc pour valeur efficace A' = w.A et pour phase à l'origine a'= a +π/2. Si nous lui associons le vecteur de Fresnel , nous obtenons le graphe de la fig.4.

Nous pouvons dire que le vecteur de Fresnel associé à la dérivée a' se déduit de celui associé à la fonction par :

rotation de + π /2

C) Intégration

Soit p(t) la fonction primitive de a(t) et son vecteur de Fresnel associé. Nous avons a = dp/dt. Nous savons donc déduire le vecteur de Fresnel associé à p(t) par la règle du paragraphe 3.2 (fig.5).

Nous pouvons dire que le vecteur de Fresnel associé à la primitive p se déduit de celui associé à la fonction par :

rotation de -π/2

homothétie de centre O et de rapport 1/w (division du module par w ).

D) Exemple

Soit trois fonctions sinusoïdales de même pulsation w = 2 rd/s :

a (t) = 20√2.cos (2.t+5π/6) ; b (t) = 10√2.sin (2.t) ; c(t) = 5√2.cos (2.t-3π/4).

Nous voulons calculer la fonction d(t) = 2.π (t) +1,5.b (t) - 2,5.dc /dt, p étant la fonction primitive de a.

Construisons fig.6 les vecteurs de Fresnel :

associé à a (t) défini par OA = 20 et (Ox,OA) = + 5P/6

associé à p(t) défini par OP = OA/ w = 10 et (Ox,OP) = +5p/6-π/2 = + π/3

associé à 2.π(t) défini par = 2.

associé à b (t) = 10√2.sin (2.t) = 10√2.cos (2.t - π/2) défini par OB = 10 et (Ox,OB) = -π/2

associé à 1,5.b (t) soit = 1,5.

associé à c (t) défini par OC = 5 et (Ox,OC) = -3π/4

associé à c’(t)= dc /dt défini par OC’ = w.OC = 10 et (Ox,OC’) = π/2-3π/4 = 3π/4

associé à -2,5.dc/dt soit = -2,5.

Traçons le vecteur somme associé à la fonction d (t). La longueur OD donne la valeur efficace D = 17 et l’angle (Ox,OD) donne la phase à l’origine d = -2 rd.

Nous pouvons donc écrire d(t) = 17√.2cos (2.t - 2).