PIB de la France en milliards d'euros courants et taux annuel de variation en %.
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1995
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1996
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1997
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1998
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1999
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2000
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2001
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2002
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2003
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2004
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2005
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| PIB |
1 194,8
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1 227,8
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1 268,5
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1 324,6
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1 366,5
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1 441,4
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1 497,2
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1 548,6
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1 594,8
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1 659,0
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1 710,0
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| Variation |
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2,76%
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3,32%
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4,42%
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0,08%
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5,48%
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3,87%
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3,43%
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2,99%
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4,03%
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3,07%
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Source : INSEE comptes de la Nation pour 2005, mai 2006.
Si on souhaite exprimer la variation observée sur l'ensemble de la période on peut utiliser le coefficient multiplicateur ou le taux de variation calculés pour 1995-2005.
| Coefficient multiplicateur 1995-2005 : |
1710/1194,8 = 1,4312 |
| Taux de variation 1995-2005 (en %) : |
(1710-1194,8) / 1194,8 = 43,12 % |
Cependant, pour faire des comparaisons avec d'autres périodes n'ayant pas la même durée ou simplement pour avoir une idée de la croissance moyenne correspondante, on fait souvent le calcul de la variation moyenne qui conduirait au même résultat global.
Dans ce cas on calcule le taux de variation annuel moyen TVAM. Intuitivement on peut penser qu'une variation de 43,12 % pendant la même période cela correspond à une variation de 4,312 %.
On vérifie facilement qu'il n'en est rien puisque si on applique ce résultat moyen on trouve pour 2005 : 1822,4 milliards d'euros ce qui est assez différent de 1710 milliards.
On ne changerait pas l'erreur en calculant le taux moyen par la moyenne arithmétique des taux annuels :
(2,76 % + 3,32 % + 4,42 % + .... +3,07 %) / 10 = 3,34 %
soit, si on applique ce taux annuel moyen à chaque année 1805,4 milliards d'euros en 2005.
Les calculs intuitifs sont inexacts parce qu'ils reposent sur une confusion que l'on retrouve dans les calculs d'intérêts simples et composés.
Supposons que l'on place un capital de 1000 euros au taux de 10 % pendant 10 ans. La première année il passe de 1000 à 1100 euros, la seconde de 1100 à 1210 euros, la troisième de 1210 à 1331 euros... la dixième il vaudra 2593 euros et non pas comme on aurait pu s'y attendre 2000 euros (10 fois 10 % en plus soit 100 % ou le double).
Il faut raisonner autrement : chaque année, le capital augmente de 10 %, il est donc multiplié par 1,1. Comme cette multiplication intervient 10 fois, cela donne une multiplication globale valant 1,110 soit 2,5937.
La multiplication annuelle correspondante ce n'est pas 2,5937 / 10 mais 2,59371/10 .
On en déduit facilement la formule permettant de calculer le taux de variation moyen annuel entre la valeur de début V0 et la valeur d'arrivée Vn d'une grandeur économique mesurée entre les dates 0 et n :
En fait on calcule le coefficient multiplicateur global, on en prend la racine n ième et on ellève 1 pour passer du coefficient multiplicateur moyen au taux de variation moyen. Dans notre exemple le taux de variation annuel moyen permettant de passer de 1194,8 milliards d'euros en 1995 à 1710 milliards d'euros en 2005 c'est :
(1710 / 1194,8) 1/10 - 1 = 3,65 %
