Soit  une fonction réelle d’une variable réelle définie au voisinage de , c'est-à-dire sur un intervalle de la forme , étant strictement positif.
Nous avons vu que est dérivable en  si .
En posant, nous obtenons

.
Posons maintenant .

La fonction est définie sur sauf en 0 et sa limite en 0 est égale à 0.

On a donc : .

Définition : On dit que la fonction f est différentiable en  s’il existe un nombre réel A et une fonction définie sur sauf éventuellement en 0 avec une  limite en 0 égale à 0 telle que :

.

L’application linéaire s’appelle la différentielle de la fonction f en