Chapitre 6. Homothétie

Homothétie :

Définition : Soit A un point du plan et k un réel non nul. L'homothétie de centre A et de rapport k est la transformation, notée qui à tout point M du plan associe le point N défini par .

Si |k|<1 alors l'homothétie est une réduction.

Si k=1 alors l'homothétie est l'identité.

Si k= - 1 alors l'homothétie est la symétrie centrale de centre A.

Si |k|>1 alors l'homothétie est un agrandissement.

Points invariants : Si k1 alors le seul point invariant de l'homothétie de centre A et de rapport k est le point A.

Transformation réciproque : La transformation réciproque de l'homothétie de centre A et de rapport k est l'homothétie de centre A et de rapport .

Propriétés de l'homothétie  :

Propriété 1 : Un point et son image par une homothétie sont alignés avec le centre de l'homothétie.

Propriété 2 : L'image d'une droite par une homothétie est une droite qui lui est parallèle.

Propriété 3 : Si M et N sont deux points du plan et M' et N' leurs images respectives par l'homothétie de centre A et de rapport k alors . Ainsi, on a donc M'N' = |k| x MN

Propriété 4 : Si trois points distincs B, C et D ont pour images respectives B', C' et D' par une homothétie alors .

A, B et B' alignés ; A, D et D' alignés ; A, C et C' alignés

(BC) //(B'C') ; (DC) // (D'C') ; (BD) // (B'D')