Théorème de Bernoulli
Théorème de Bernoulli généralisé
Le théorème de Bernoulli généralisé précise qu'entre deux points A et B, situés à la surface libre du liquide d'un écoulement gravitaire uniforme, la relation entre les trois énergies qui composent la charge, d'une part, et la perte de charge, d'autre part, s'écrit comme l'équation [1 en Pa]. La conversion en mCE donne l'équation [2 en mCE]. |  |
Simplification
Étant donnée la configuration de l'écoulement, la pression en A et la pression en B sont identiques et égales à la pression atmosphérique [équation 3].
Par ailleurs la section d'écoulement en A est identique à celle en B ; le débit-volume étant conservé entre les deux points, la vitesse débitante en A est égale à la vitesse débitante en B [équation 4].
Il reste donc une équation simplifiée qui montre que la perte de charge exprimée en mCE est égale à la dénivelée entre A et B [équation 2 transformée en 5].
Egalité entre pente et perte de charge linéique
La distance horizontale qui sépare le point A du point B permet de calculer la pente :
i = (zA - zB) / LAB
D'autre part si l'on divise la perte de charge par la longueur horizontale de l'écoulement, on obtient la perte de charge linéique à condition que la pente de la canalisation soit faible.
En effet, si l'on appelle "d" la distance qui sépare A et B dans le sens de l'écoulement, alors la perte de charge linéique s'exprime par :
j = J / d
Les pentes des écoulements sont en général comprise en 5‰ et 5%. Même dans le cas où la pente serait de l'ordre de 10% la différence entre L et d est très faible. Voyons ça en posant :
COS α = LAB / d
avec :
α = ATAN(i) (arc-tangente de l'angle de la canalisation avec l'horizontale)
si i = 0,1 (pente de 10%) alors α = 5,71°, et COS 5,71 = 0,995.
Donc LAB = 0,995.d si la pente est égale à 10%.
On peut donc poser d = LAB.
Avec cette simplification il vient :
i = j [6]
Cette équation [6] est donc le théorème de Bernoulli généralisé dans le cas des écoulements gravitaires uniformes.
