Probabilité

La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un sujet de grande importance donnant lieu à de nombreuses applications.

La probabilité d'un événement est un nombre réel compris entre 0 et 1. Plus ce nombre est grand, plus le risque (ou la chance, selon le point de vue) que l'événement se produise est grand. Si on considère que la probabilité qu'un lancer de pièce donne pile est égale à 1/2, cela signifie que, si on lance un très grand nombre de fois cette pièce, la fréquence des piles va très probablement tendre vers 1/2, sans préjuger de la régularité de leur répartition. Cette notion empirique sera définie plus rigoureusement dans le corps de cet article.

Contrairement à ce que l'on pourrait penser de prime abord l'étude scientifique des probabilités est relativement récente dans l'histoire des mathématiques. D'autres domaines tels que la géométrie, l'arithmétique, l'algèbre ou l'astronomie faisaient l'objet d'étude mathématique durant l'Antiquité mais on ne trouve pas de trace de textes mathématiques sur les probabilités. L'étude des probabilités a connu de nombreux développements au cours des trois derniers siècles en partie grâce à l'étude de l'aspect aléatoire et en partie imprévisible de certains phénomènes, en particulier les jeux de hasard. Ceux-ci ont conduit les mathématiciens à développer une théorie qui a ensuite eu des implications dans des domaines aussi variés que la météorologie, la finance ou la chimie. Cet article est une approche simplifiée des concepts et résultats d'importance en probabilité ainsi qu'un historique de l'usage du terme « probabilité » qui a eu plusieurs autres sens avant celui qu'on lui connaît aujourd'hui en mathématiques.

Histoire et terminologie 

À l'origine, dans les traductions d'Aristote, le mot « probabilité » ne désigne pas une quantification du caractère aléatoire d'un fait mais l'idée qu'une idée est communément admise par tous. Ce n'est qu'au cours du Moyen Âge puis de la Renaissance autour des commentaires successifs et des imprécisions de traduction de l'œuvre d'Aristote que ce terme connaîtra un glissement sémantique pour finir par désigner la vraisemblance d'une idée. Au XVI^e siècle puis au XVII^e siècle c'est ce sens qui prévaut en particulier dans le probabilisme en théologie morale. C'est dans la deuxième moitié du XVII^e siècle, à la suite des travaux de Blaise Pascal, Pierre de Fermat et Christian Huygens^{[b 1],[a 1]} sur le problème des partis que ce mot prend peu à peu son sens actuel avec les développements du traitement mathématique du sujet par Jakob Bernoulli. Ce n'est alors qu'au XIX^e siècle qu'apparaît ce qui peut être considéré comme la théorie moderne des probabilités en mathématiques.

Ainsi il existe plusieurs notions :

• la probabilité d'un fait caractérise la possibilité que ce fait se produise, une vraisemblance, une apparence de vérité^{[a 2]}. (définition 2 du Larousse^{[a 3]}).

  Voir l'article du wiktionnaire : probable,

• les probabilités d'un fait donnent le pourcentage de chance qu'un fait se produise, c'est-à-dire qu'elles donnent une ou plusieurs valeurs (ou pourcentage) de la possibilité qu'il se produise. Cette notion se rapproche de la notion mathématique de loi de probabilité (définition 1 du Larousse^{[a 3]}). Plus formellement c'est le rapport du nombre de cas favorables au nombre de cas possibles^{[a 2]}.

  Voir l'article : probabilités (mathématiques élémentaires),

• les probabilités ou le calcul des probabilités ou la théorie des probabilités est la théorie mathématique qui étudie le caractère probable des événements (définition 1 du Larousse^{[a 3]}).

  Voir l'article : théorie des probabilités,

• la doctrine des probabilité ou probabilisme est une doctrine de théologie morale qui enseigne qu'on peut suivre une opinion pourvu qu'elle soit probable^{[a 2]}.

  Voir l'article : probabilisme.

Notion de probabilité chez Aristote 

Le premier usage du mot probabilité apparaît en 1370 avec la traduction de l'éthique à Nicomaque d'Aristote par Oresme et désigne alors « le caractère de ce qui est probable »^{[a 2]}. Le concept de probable chez Aristote (ενδοξον, en grec) est ainsi défini dans les Topiques^[1] :

« Sont probables les opinions qui sont reçues par tous les hommes, ou par la plupart d’entre eux, ou par les sages, et parmi ces derniers, soit par tous, soit par la plupart, soit enfin par les plus notables et les plus illustres »

Ce qui rend une opinion probable chez Aristote est son caractère généralement admis^{[a 4]}; ce n'est qu'avec la traduction de Cicéron des Topiques d'Aristote, qui traduit par probabilis ou par verisimilis, que la notion de vraisemblance est associée à celle de « probabilité » ce qui aura un impact au cours du Moyen Âge puis de la Renaissance avec les commentaires successifs de l'œuvre d'Aristote^{[a 5]}.

Doctrine de la probabilité au XVI^e siècle et XVII^e siècle 

La doctrine de la probabilité, autrement appelée probabilisme, est une théologie morale catholique qui s'est développée au cours du XVI^e siècle sous l'influence entre autres de Bartolomé de Medina et des jésuites. Avec l'apparition de la doctrine de la probabilité, ce terme connaîtra un glissement sémantique pour finir par désigner au milieu du XVII^e siècle le caractère vraisemblable d'une idée.

La probabilité d'une opinion désigne alors au milieu du XVII^e siècle la probabilité qu'une opinion soit vraie. Ce n'est qu'à partir de la fin du XVII^e siècle avec l'émergence de la probabilité mathématique que la notion de probabilité ne concernera plus seulement les opinions et les idées mais aussi les faits et se rapprochera de la notion de hasard^[2] que l'on connaît aujourd'hui.

Notion moderne de probabilité 

L'apparition de la notion de « risque », préalable à l'étude des probabilités, n'est apparue qu'au XII^e siècle pour l'évaluation de contrats commerciaux avec le Traité des contrats de Pierre de Jean Olivi^[3], et s'est développée au XVI^e siècle avec la généralisation des contrats d'assurance maritime^[4]. À part quelques considérations élémentaires par Girolamo Cardano^[5] au début du XVI^e siècle et par Galilée au début du XVII^e siècle, le véritable début de la théorie des probabilités date de la correspondance entre Pierre de Fermat et Blaise Pascal en 1654.

Ce n'est qu'à partir du milieu du XVII^e siècle avec l'émergence du traitement mathématique du sujet qu'est apparu l'usage moderne du terme probabilité.

Probabilités du XVII^e siècle au XIX^e siècle 

Le véritable début de la théorie des probabilités date de la correspondance entre Pierre de Fermat et Blaise Pascal en 1654. Ceux-ci commencent à élaborer les bases du traitement mathématique des probabilités autour de l'étude de jeux de hasard proposés, entre autres, par le chevalier de Méré. (voir ci-contre une page de la correspondance entre Pascal et Fermat au sujet du problème des partis). Même s'ils sont considérés comme les fondateurs du traitement des probabilités, ils n'ont rien publié de leurs travaux, et il faudra attendre Huygens pour avoir un premier ouvrage sur le sujet.

Encouragé par Pascal, Christian Huygens publie De ratiociniis in ludo aleae (raisonnements sur les jeux de dés) en 1657. Ce livre est le premier ouvrage important sur les probabilités. Il y définit la notion d'espérance et y développe plusieurs problèmes de partages de gains lors de jeux ou de tirages dans des urnes^[7]. Deux ouvrages fondateurs sont également à noter : Ars Conjectandi de Jacques Bernoulli (posthume, 1713) qui définit la notion de variable aléatoire et donne la première version de la loi des grands nombres^[8], et Théorie de la probabilité d' Abraham de Moivre (1718) qui généralise l'usage de la combinatoire^[9].

La Théorie des erreurs, qui cherche à quantifier l'écart entre la mesure que l'on fait d'une variable et sa vraie valeur et qui est une préfiguration des théorèmes central limite, voit le jour avec Opera Miscellanea de Roger Cotes (posthume, 1722). Le premier à l'appliquer aux erreurs sur les observations est Thomas Simpson en 1755.

Pierre-Simon de Laplace donne une première version du théorème central limite en 1812 qui ne s'applique alors que pour une variable à deux états, par exemple pile ou face mais pas un dé à 6 faces.

Sous l'impulsion de Quetelet, qui ouvre en 1841 le premier bureau statistique le Conseil Supérieur de Statistique ^[10], les statistiques se développent et deviennent un domaine à part entière des mathématiques qui s'appuie sur les probabilités mais n'en font plus partie.

Naissance de la théorie classique des probabilités

La théorie de la probabilité classique ne prend réellement son essor qu'avec les notions de mesure et d'ensembles mesurables qu'Émile Borel introduit en 1897. Cette notion de mesure est complétée par Henri Léon Lebesgue et sa théorie de l'intégration^[11]. La première version moderne du théorème de la limite centrale est donné par Alexandre Liapounov en 1901^[12] et la première preuve du théorème moderne est donnée par Paul Lévy en 1910. En 1902, Andrei Markov introduit les chaînes de Markov^[13] pour entreprendre une généralisation de la loi des grands nombres pour une suite d'expériences dépendant les unes des autres. Ces chaînes de Markov connaîtront de nombreuses applications entre autres pour modéliser la diffusion ou pour l'indexation de sites internet sur Google.

Il faudra attendre 1933 pour que la théorie des probabilités sorte d'un ensemble de méthodes et d'exemples divers et devienne une véritable théorie, axiomatisée par Kolmogorov^[14].

Kiyoshi Itô met en place une théorie et un lemme qui porte son nom dans les années 1940^[15]. Ceux-ci permettent de relier le calcul stochastique et les équations aux dérivées partielles faisant ainsi le lien entre analyse et probabilités. Le mathématicien Wolfgang Doeblin avait de son côté ébauché une théorie similaire avant de se suicider à la défaite de son bataillon en juin 1940. Ses travaux furent envoyés à l'Académie des sciences dans un pli cacheté qui ne fut ouvert qu'en 2000^[16].

Applications

Les jeux de hasard sont l'application la plus naturelle des probabilités mais de nombreux autres domaines s'appuient ou se servent des probabilités. Citons entre autres :

• les statistiques, sont un vaste domaine qui s'appuie sur les probabilités pour le traitement et l'interprétation des données.
• La théorie des jeux s'appuie fortement sur la probabilité et est utile en économie et plus précisément en micro-économie.
• l'estimation optimale par usage de la loi de Bayes, qui sert de fondement à une grande partie des applications de décision automatique (imagerie médicale, astronomie, reconnaissance de caractères, filtres anti-pourriel).
• En physique ainsi qu'en biologie moléculaire l'étude du mouvement brownien pour de petites particules ainsi que les Équation de Fokker-Planck font intervenir des concepts s'appuyant sur le calcul stochastique et la marche aléatoire
• les mathématiques financières font un large usage de la théorie des probabilités pour l'étude des cours de la bourse et des produits dérivés. Citons par exemple le Modèle de Black-Scholes pour déterminer le prix de certains actifs financiers (notamment les options).
• les études probabilistes de sûreté où l'on évalue la probabilité d'occurrence d'un événement indésirable. C'est devenu un outil d'évaluation des risques dans bon nombre d'installations industrielles.