Fonction de répartition

Icône de l'outil pédagogique Définition 4

Si X est une VA dont l'univers image est X(Ω) = {x1 ; x2 ; ... ; xn} et dont on connait la loi de probabilité, on appelle fonction de répartition associée à X la fonction F de R dans [0 ; 1], définie par :

 


Icône de l'outil pédagogique Remarque 1

Rappelons que X est une VA dont l'univers image est X(Ω) = {x1 ; x2 ; ... ; xn} et que l'on connait p1= P(X=x1),p2= P(X=x2),..., pi= P(X=xi), ..., pn= P(X=xn), avec p1+p2+...pn=1.

On a alors F(xi)= p1+p2+....+pi et F(xi+1)= p1+p2+....+pi+pi+1.

Donc, F(xi+1) - F(xi) = (p1+p2+....+pi+pi+1)-(p1+p2+....+pi)= pi+1

Il est donc possible de reconstituer la distribution (ou loi) d'une VA à partir de sa fonction de répartition par différences successives.


Icône de l'outil pédagogique Remarque 2

Dans les exemples utilisés dans le paragraphe "Distribution de probabilité", nous relevons l'analogie entre le tableau statistique indiquant la distribution des fréquences et celui indiquant la distribution des probabilités. Dans le même esprit, nous pourrions relever la similitude entre les fréquences cumulées croissantes et la fonction de répartition.

La fonction de répartition peut être comprise comme la série des probabilités cumulées croissantes.


Icône de l'outil pédagogique Exemple 1 : la tombola

Reprenons l'exemple de la tombola dont nous rappelons la distribution ( ou loi).

xi
pi
0 0,84
2 0,10
10 0,05
50 0,01
Total 1


Nous pouvons alors décrire la fonction de répartition correspondante, c'est une fonction affine par intervalles, et plus précisément, fonction en escalier :

x
F(x) =
[-∞ ; 0[ 0
[0 ; 2[ 0,84
[2 ; 10[ 0,94
[10 ; 50[ 0,99
[50 ; +∞[
1

Par exemple, F(2,87)= 0,94.