Exemples et nouvelles notations
Exemple 1 : la tombola
Une association de quartier décide d'organiser une tombola. Elle dispose de 100 billets qu'elle répartit comme suit :
1 billet rapporte un lot de 50 €,
5 billets rapportent chacun un lot de 10 €,
10 billets rapportent chacun un lot de 2 €,
Le reste des billets ne rapporte rien à celui qui l'a acheté.
L'univers Ω est l'ensemble des billets. La probabilité P définie sur Ω est l'équiprobabilité ( tous les billets ont la même chance de sortir).
Nous venons de construire une variable aléatoire (VA) X, qui à un billet, associe le montant du lot correspondant.
L'univers image Ω1 est constitué des montants des lots : Ω1={0 ; 2 ; 10 ; 50}.
Définissons alors la probabilité image P1 :
Un habitant du quartier achète un billet. Calculons la probabilité qu'il aura d'obtenir le lot de 50 €.
La probabilité d'obtenir ce lot de 50 € est égale à la probabilité d'obtenir le billet correspondant. Il y en a un seul. Comme la probabilité sur l'univers Ω est l'équiprobabilité le résultat est égal à 1/100.
Nous notons donc P1(50)= P(de l'ensemble des billets rapportant un lot de 50 €)= 1/100.
Calculons la probabilité d'obtenir un lot de 10 €.
La probabilité d'obtenir ce lot de 10 € est égale à la probabilité d'obtenir les billet correspondants. Il y en a 5. Toujours en utilisant l'équiprobabilité sur Ω, le résultat est égal à 5/100.
Nous notons donc P1(10)= P(de l'ensemble des billets rapportant un lot de 10 €)= 5/100.
De même, P1(2)= P(de l'ensemble des billets rapportant un lot de 2 €)= 10/100.
Et enfin, P1(0)= P(de l'ensemble des billets rapportant un lot de 0 €)= 84/100 (Il y a 84 billets qui ne rapportent rien).
Vous venez de construire la probabilité image sur Ω1...
Résumons les résultats dans un tableau :
| Ω1 |
Probabilité |
| 0 | 0,84 |
| 2 | 0,10 |
| 10 | 0,05 |
| 50 | 0,01 |
exemple 2 : l'indicateur de panne
Un composant d'un système est en panne avec une probabilité égale à 0,03.
On décide de noter 1 si le composant est en état de marche et de noter 0 si le composant est en panne.
Nous venons de construire une variable aléatoire X qui à un état du composant fait correspondre soit 0, soit 1. Cette VA s'appelle indicatrice de bon état de marche du composant.
L'univers Ω est constitué de 2 évènements élémentaires : Ω= {Panne, Marche}.
L'univers Ω1est constitué de 2 évènements élémentaires : Ω1={0 ; 1}.
En utilisant la définition 2, nous pouvons écrire :
P1(0)= P(Panne)= 0,03 et P1(1)= P(Marche)= 0,97.
Nous venons de définir la probabilité image sur Ω1.
Résumons les résultats dans un tableau :
| Ω1 |
Probabilités |
| O | 0,03 |
| 1 | 0,97 |
Simplification des notations
Nous disposons donc de deux univers Ω et Ω1, de deux probabilités P et P1...Les notations deviennent compliquées !
On simplifie alors ces notations, même si du point de vue mathématique, ce n'est pas très réglo ...
Au lieu de marquer dans l'exemple 1 : P1(10)= P(de l'ensemble des billets rapportant un lot de 10 €)= 5/100, on écrira P(X=10)= 5/100.
On lit ainsi : la probabilité que X prenne la valeur 10 est égale à 5/100.
Au lieu de marquer dans l'exemple 2 : P1(0)= P(Panne)= 0,03, on écrira P(X=0)=0,03.
On lit ainsi : la probabilité que X prenne la valeur 0 est égale à 0,03.
Nous noterons ainsi de manière abrégée :
etc.