Indépendance (probabilités)

L'indépendance est une notion probabiliste qualifiant de manière intuitive des événements aléatoires n'ayant aucune influence l'un sur l'autre. Il s'agit d'une notion très importante en statistique et théorie des probabilités.

Par exemple, la valeur d'un premier lancer de dés n'a aucune influence sur la valeur du second lancer. De même, pour un lancer, le fait d'obtenir une valeur inférieure ou égale à quatre n'influe en rien sur la probabilité que le résultat soit pair ou impair^[1] : les deux événements sont dits indépendants.

L'indépendance ou non de deux événements n'est pas toujours facile à établir.

Indépendance de deux évènements

La définition classqiue est celle du cours précédent. 

Notion intuitive :

Ainsi les évènements A et B sont dits indépendants si notre pronostic sur l'évènement A est le même :

• si on sait que l'évènement B s'est produit
• si on sait que l'évènement B ne s'est pas produit
• si on ne sait rien sur le statut de l'évènement B

Autrement dit, A est dit indépendant de B si notre pronostic sur l'évènement A n'est affecté par aucune information concernant B, ni par l'absence d'information concernant B. On peut échanger les rôles de A et de B dans la définition utilisant les probabilités conditionnelles, à condition bien sûr d'exclure les cas particuliers peu intéressants où A est impossible, et où A est certain.

Bien que la définition utilisant les probabilités conditionnelles soit plus intuitive, elle a l'inconvénient d'être moins générale, et de ne pas faire jouer un rôle symétrique aux deux événements A et B.

Notons par ailleurs qu'un évènement certain A est indépendant de tout évènement B quel qu'il soit. Un évènement impossible est également indépendant de tout autre évènement. En particulier, un événement A est indépendant de lui-même à la condition que A soit soit certain, soit impossible.

Indépendance et information

Une autre façon d'appréhender cette notion d'indépendance entre deux événements est de passer par l'information (au sens de la théorie de l'information) : deux événements sont indépendants si l'information fournie par le premier événement ne donne aucune information sur le deuxième événement.

Soit à tirer deux boules (rouge et blanche) d'une urne. Si on réalise l'expérience sans remettre la boule tirée dans l'urne, et que la première boule tirée est rouge, on peut déduire de cette information que la deuxième boule tirée sera blanche. Les deux événements ne sont donc pas indépendants.

Par contre, si on remet la première boule dans l'urne avant un deuxième tirage, l'information du premier événement (la boule est rouge) ne nous donne aucune information sur la couleur de la deuxième boule. Les deux événements sont donc indépendants.

Cette approche est notamment utilisée en analyse en composantes indépendantes.