L'étude d'un dipôle consiste, connaissant tous ses composants, à trouver la d.d.p à partir du courant ou le courant à partir de la d.d.p.

Nous étudions des dipôles formés par association de résistances, inductances et condensateurs. Ces dipôles sont dits linéaires car la relation v et i est une équation différentielle de type linéaire. Pour tous ces dipôles, il y a proportionnalité de la tension et du courant en valeur efficace. Le déphasage introduit ne dépend que de la nature des composants et non de la tension appliquée ou du courant traversant le dipôle.

A) Méthode de Fresnel

Pour chaque composant, nous savons déduire le vecteur associé à la tension de celui associé au courant ou faire la déduction inverse ; nous savons également ajouter les vecteurs représentant les tensions ou les courants. Pour tracer le diagramme de Fresnel, il nous faut choisir deux échelles, l'une a en ampère par cm pour représenter les intensités et l'autre b en volt par cm pour représenter les tensions.

Exemple 1 :

Soit le circuit de la fig.6 alimenté par un courant sinusoïdal i de valeur efficace I = 10 mA et de fréquence

f = 1 kHz. Connaissant les valeurs de R = 1 kW et C = 220 nF, nous voulons calculer la tension efficace V et le déphasage introduit j = (i,v) introduit par ce dipôle.

Choisissons une échelle a = 2 mA / cm. L'intensité i est représentée par le vecteur de longueur I / a = 5 cm et d'angle polaire 0°. Le vecteur de Fresnel associé à la d.d.p v_r aux bornes de la résistance est en phase avec ; on a V_r = R.I = 10 V; si nous choisissons une échelle b = 2 V / cm ; le vecteur est confondu avec . Soit le vecteur de Fresnel associé à la d.d.p. v_c; nous savons que est en quadrature arrière sur et qu'en valeur efficace V_c = I / C.w = 7,2 V ; nous avons donc OB_c = 3,6 cm.

Le vecteur associé à v = v_r + v_c est donc tel que . La mesure de OB = 6,2 cm donne

V = b.OB = 12,4V.

Le déphasage j = (OA, OB) est négatif nous avons tg (j) = - OB_c/OB_r soit tg (j) = - 0,72 et j = - 36°.

Si nous voulions connaître l'intensité efficace I pour une tension v de valeur efficace V = 5 V, nous ne pouvons tracer directement le diagramme de Fresnel à partir de v mais nous savons que toutes les valeurs efficaces sont proportionnelles entre elles.

Pour V = 12,4 V on a I = 10 mA donc pour V = 5 V, on a I = 10 x ( 5 / 12,4) = 4 mA.

Exemple 2 :

Soit le circuit représenté sur la fig.7 alimenté par un courant sinusoïdal i de valeur efficace I = 1 A et de fréquence f = 50Hz; on veut calculer la valeur efficace V pour R= 47 W et L = 0,1H. Nous pourrions tracer le vecteur de Fresnel associé à i mais nous ne pourrions poursuivre la construction pour obtenir le vecteur associé à v. Sachant que les grandeurs sont proportionnelles en valeur efficace, nous pouvons nous donner à priori une valeur de V, par exemple V = 10 V. Avec une échelle b = 2 V/cm, nous pouvons alors tracer le vecteur .

Nous savons qu'en valeur efficace, I_r = V / R = 213 mA et que i_r et v sont en phase.

Avec une échelle a = 100 mA / cm, nous pouvons construire le vecteur associé à i_r, de longueur

I_r/a = 2,13cm et en phase avec . De même I_L = V / L.w = 318 mA est associé à un vecteur de longueur 3,18cm en quadrature arrière sur la tension v. Nous en déduisons le vecteur associé à i. La mesure OA = 3,8 cm donne I = 380 mA.

Comme nous voulons I = 1 A, nous devons avoir V = 10 x 1000/380 = 26 V.

Pour des circuits plus complexes, nous utiliserons une méthode semblable à celle de l'exemple 2 : nous cherchons s'il existe une d.d.p. ou une intensité qui nous permette de tracer de proche en proche toutes les grandeurs du circuit étudié; si c'est le cas, nous nous donnons arbitrairement cette grandeur puis nous construisons le diagramme de Fresnel ; nous utiliserons ensuite les relations de proportionnalité pour calculer les valeurs efficaces des grandeurs à partir de la donnée.

Exemple 3 :

L'examen de ce réseau montre que la connaissance du courant j permet de construire le diagramme de Fresnel.

Prenons J = 1 A; avec une échelle a = 0,2 A / cm, nous construisons le vecteur associé de longueur 5 cm.

Nous pouvons construire les vecteurs associés respectivement :

A la tension v_L aux bornes de l'inductance; V_L = L.w.I = 126 V donne, avec une échelle b=20 V/ cm, un vecteur de longueur 6,3 cm en quadrature avant sur

A la tension v_R aux bornes de la résistance R; V_R = R J = 33 V donne un vecteur de longueur 1,65 cm en phase avec

A la tension v : le vecteur associé donne OB_v = 6,5 cm soit V = 130 V.

Le vecteur associé à l'intensité j' : J' = C.w.V = 0,54 A donne un vecteur de longueur 2,25 cm en quadrature avant sur .

Le vecteur associé à i est ; nous en déduisons OA = 2,5 cm soit I = 0,5A

Le vecteur associé à la tension v' aux bornes de la résistance R'; V' = R'.I = 110 V donne un vecteur de longueur 5,5 cm en phase avec .

Le vecteur associé à la tension u tel que ; la longueur OB = 10,4 cm donne V = 208 V

Pour avoir les valeurs des grandeurs pour V = 10 V, il suffit donc de multiplier toutes les valeurs efficaces par k = 10 / 208.

Nous obtenons ainsi I = 24 mA ; J = 48 mA ; J' = 26 mA ; V = 6,3 V et V' = 5,3 V.

La méthode de Fresnel ne permet pas d'étudier des circuits trop complexes; de plus la méthode graphique conduit à l'imprécision des résultats. Elle est cependant utile pour étudier de façon qualitative de nombreux circuits simples, pour les réseaux polyphasés, et pour bien visualiser des relations entre grandeurs.

B) Méthode complexe

La méthode complexe permet le calcul des grandeurs de tout réseau fonctionnant en régime sinusoïdal à une fréquence donnée. Dans les cas simples de dipôles, on peut réduire le réseau à une seul impédance par réductions successives d'associations série et parallèle.

Reprenons les exemples du paragraphe 3.1 :

Exemple 1 : l'impédance Z équivalente à R et C en série est Z = R + 1/j.C.w ; numériquement

Z = 100 - j.723 = . La relation tension courant V = Z. I donne en valeur efficace V = Z.I = 7,3 V et j = arg Z = -36°

Exemple 2 : l'impédance Z équivalente à R et L en parallèle est telle que :

Y = 1 / Z = 1 / R + 1 / j.L.w = 0,0213-j.0,0318 = ; nous en déduisons

Z = ; V = Z.I donne en valeur efficace V = 26,1 V et en déphasage (i , v) = 56°

Exemple 3 : la seule association série ou parallèle de deux composants est celle de R et L en série. Soit Z₁ l'impédance équivalente ; nous en déduisons Z₁= R+j.L.w soit

Z₁= 22 + j.126 =.

Cette réduction fait apparaître l'association en parallèle de Z1 et C ; l'impédance Z₂ équivalente est telle que Y₂= 1/Z₂ = Y₁+j.C.w.

Y₁= ; Y₂ = (1,35 -j3,57) mS ; donne

R' et Z₂ sont associées en série ; nous en déduisons l'impédance totale du dipôle Z = R'+Z₂

Z = 313 + j 245 soit .

Nous pouvons maintenant calculer les grandeurs efficaces : V = Z.I donne I = 25,2 mA ; V= Z₂.I donne V = 6,60 V ; J = V / Z₁= 51,6 mA et J' = C.w.V = 27,4 mA.