On considère une corde tendue, de longueur L, dont les deux extrémités sont fixes.
Au point d'abscisse X, on impose à la corde une amplitude y = A.sin(ω.t). Les deux parties de la corde vont se comporter de façon autonome.
Dans chaque partie vont se propager une onde incidente yi = B.sin(k.x − ω.t) et
une onde réfléchie de même amplitude yr = B.sin(k.x + ω.t).
Pour la partie gauche, le point d'abscisse x = 0 est immobile. ya = C.sin(ω.t).sin(k.x) est donc solution de l'équation de propagation en régime permanent.
Pour la partie droite de la corde, c'est le point d'abscisse x = L qui est immobile.
yb = D.sin(ω.t).sin(k.(L − x)) est solution de l'équation de propagation.
Rappel :
Si c est la vitesse de propagation dans la corde, on a : ω = 2.π.N; λ = c / N; k = ω / c = 2.π / λ.
Pour déterminer les valeurs de C et D, il suffit d'écrire que pour x = X, l'amplitude est égale à y = A.sin(ω.t). Montrer que :
Pour k.X = n.π ou k.(L − X) = m.π, l'amplitude devient infinie!
En réalité, l'amortissement et des phénomènes non linéaires vont limiter cette amplitude à une valeur finie. Dans l'applet, j'ai introduit une limitation automatique des amplitudes quand ces conditions sont réalisées.
Utilisation :
Quatre zones de texte permettent de modifier la fréquence de l'excitation, la vitesse de propagation, l'amplitude de l'excitation et son point d'application sur la corde. Il faut valider chaque saisie. Quand la limitation automatique d'amplitude intervient, l'affichage de la valeur de l'amplitude est modifié.
Expérimentez en modifiant les divers paramètres du système.
Étudiez en particulier les cas ou l'excitation se produit sur un nœud ou sur un ventre de la corde complète et les cas ou l'expression de l'amplitude se présente sous la forme indéterminée 0/0. (k.x = n.π et k.X = m. π).
Cherchez les valeurs des paramètres pour lesquels les parties droite et gauche de la corde vibrent de la même manière. (dérivée de l'amplitude continue pour x = X).
Une pression sur le bouton gauche de la souris permet de geler l'animation.
Pressions et relâchements du bouton droit de la souris permettent de passer en mode pas à pas. (Presser ensuite sur le bouton gauche pour revenir au mode normal).