Espérance mathématique et Variance
Espérance mathématique
L'espérance mathématique de la variable continue X est égale à :
Nous rappelons que la notation "X barre" n'est pas recommandée, car source de confusions par la suite, bien qu'utilisée quelquefois.
Attention ! Cette intégrale doit être convergente et il est donc possible d'avoir une variable aléatoire continue dont la moyenne n'existe pas.
Pour les exemples de notre cours, il n'y aura pas ce problème...
Variance et écart-type
L'espérance mathématique de la variable continue X est égale à :
Attention ! Cette intégrale doit être convergente et il est donc possible d'avoir une variable aléatoire continue dont la variance n'existe pas.
Pour les exemples de notre cours, il n'y aura pas ce problème...
On définit l'écart-type :
Propriétés
Soit X une variable aléatoire continue définie sur R.
On suppose que X a une espérance mathématique et une variance.
Soit Y la variable aléatoire définie par Y= aX+b.
On admet alors :
- E(Y)= a E(X) +b
- V(Y)=a2 V(X)
Variable centrée réduite
Soit X une variable aléatoire continue définie sur R et telle que E(X)=μ et V(X)= σ2.
On peut définir la variable centrée réduite associée à X par :
On a alors : E(Y)=0 et V(Y)=1.
Nous utiliserons cette propriété très largement pour les travaux sur la loi Normale.