Couple de variables aléatoires
![Icône de l'outil pédagogique](icon_activity.gif)
Soient deux variables aléatoires X et Y définies sur le même espace probabilisé (Ω, p), fini.
Les univers images sont : X(Ω)= {x1 ; x2 ; ... ; xn} et Y(Ω)= {y1 ; y2 ; ... ; yk}
La loi du couple (X ; Y) est définie par la connaissance des nombres pij = P[(X=xi)∩(Y=yj)].
Remarquons que cette loi est souvent représentée dans un tableau à double entrée. Les valeurs pij sont reportées dans les cases du tableau.
VA X ou Y | y1 | ... | yj | ... | yk |
x1 | p11 | p1j | p1k | ||
... | |||||
xi | pi1 | pij | pik | ||
... | |||||
xn | pn1 | pnj | pnk |
Notons que la somme des valeurs portées dans les cases doit être égale à 1.
![Icône de l'outil pédagogique](icon_activity.gif)
On peut, à partir de la loi du couple (X ; Y) déterminer la loi de X seul et la loi de Y seul. Si l'on a effectué la représentation dans un tableau à double entrée comme ci-dessus, on obtient les valeurs correspondantes en additionnant respectivement les valeurs portées dans les lignes pour X ou les colonnes pour Y. Les totaux obtenus sont portés dans les marges du tableau, d'où le terme de lois marginales.
On note P(X=xi) = pi. et P(Y=yj) = p.j
VA X ou Y | y1 | ... | yj | ... | yk | Total= loi marginale de X |
x1 | p11 | p1j | p1k | p1. | ||
... | ||||||
xi | pi1 | pij | pik | pi. | ||
... | ||||||
xn | pn1 | pnj | pnk | pn. | ||
Total = loi marginale de Y |
p.1 | p.j | p.k | 1 |
Notons que pi. = pi1+...+pij+... pik et p.j= p1j +...+pij+...+ pnj
![Icône de l'outil pédagogique](icon_activity.gif)
Les variables aléatoires X et Y sont dites indépendantes si les évènements (X=xi) et (Y=yj) sont indépendants pour tous i de {1 ; ... ; n} et j de {1 ; ... ; k}. Cela s'écrit de la manière suivante :
Pour tous i de {1 ; ... ; n} et j de {1 ; ... ; k}, pij=pi. × p.j
Remarquons que dans le tableau de la définition 9, cela correspond à ce que le nombre inscrit dans chaque case du tableau soit le produit du total de la ligne et du total de la colonne qui lui correspondent.
![Icône de l'outil pédagogique](icon_activity.gif)
Pour mesurer la "force" de la liaison entre deux variables X et Y, on dispose de deux outils :
- La covariance de X et Y : Cov(X ; Y)= E[(X-E(X))(Y-E(Y)],
- Le coefficient de corrélation des variables X et Y : r = Cov(X ; Y)/[σ(x) σ(y)]
Nous admettons que Cov(X ; Y)= E(XY)-E(X).E(Y).
Cette dernière formule est souvent plus facile à utiliser pour les calculs.
Remarquons que si les variable X et Y sont indépendantes, Cov(X ; Y) = 0 ( et donc le coefficient de corrélation aussi ).