Exercices sur le chapitre 3

1. Relation fonctionnelLe et corrélation nulle.

1) On considère la série suivante :

(-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5)

Montrer que le coefficient de corrélation linéaire entre la série (x_i) et la série (y_i) définie par y_i = a x_i², est égal à 0 quelle que soit la constante a. Représenter graphiquement les couples (x_i, y_i) i = 1, …, 11.

2) On considère maintenant une série statistique (x_i) i =1, …, n telle que :

1	n		1	n
^____	S	xi = 0	^____	S	xi^2 = 1
n	i = 1		n	i = 1

On pose quel que soit i de 1 à n :

y_i = a x_i² + b x_i + c

Soit c_as le coefficient d’asymétrie de la série x_i i = 1, …, n. Déterminer une relation entre a et b de façon que :

1	n
^_____	S	xi yi = 0
n	i = 1

En déduire que, lorsque cette relation est vérifiée, le coefficient de corrélation linéaire de la série de couples (x_i, y_i) i= 1, …n est nul.

3) On considère une série statistique (x_i) i = 1, …, n quelconque. Expliquer comment calculer des paramètres a et b tels que le coefficient de corrélation entre les série (x_i) et (y_i) soit nul, avec :

quel que soit i de 1 à n

yi = a xi^2 + b xi + c

2. Données individuelles. points aberrants.

Une banque veut étudier les relations entre l’âge, le revenu, le patrimoine et les emprunts dans sa clientèle particuliers. On se limite ici à 10 clients tirés au hasard dans le fichier :

	âge	revenu	patrimoine	emprunt		âge	revenu	patrimoine	emprunt
1	45	250	1300	600	6	39	170	1400	120
2	47	160	1150	450	7	27	120	1400	160
3	38	165	850	370	8	51	160	1300	320
4	36	175	770	250	9	32	155	1500	350
5	29	99	450	400	10	35	170	1400	180

1) Calculer la moyenne et la variance de chacune des quatre variables en utilisant les tableaux donnés en annexe.

2) Effectuer les représentations graphiques des couples (âge, revenu) et (patrimoine, emprunt). Donner en examinant les représentations graphiques une approximation des coefficients de corrélation.

3) Calculer les coefficients de corrélation entre l’âge et le revenu, entre le revenu et l’emprunt, et entre le patrimoin eet l’emprunt. On complétera la matrice de corrélation donnée ci-dessous.

	âge	revenu	patrimoine	emprunt
âge	1
revenu		1
patrimoine	0.193	0.345	1
emprunt	0.419			1

4) Construire et commenter la représentation graphique des couples (revenu, emprunt). Recalculer le coefficient de corrélation entre le revenu et l’emprunt en enlevant le client de rang 1 des données.

ANNEXE

n°	x	y	x²	y²	xy	(x-mx)²	(y-my)²	(x-mx)(y-my)
1	45	250	2025	62500	11250	50.41	7673.7598	621.96
2	47	160	2209	25600	7520	82.81	5.76	-21.84
3	38	165	1444	27225	6270	0.01	6.76	0.26
4	36	175	1296	30625	6300	3.61	158.76	-23.94
5	29	99	841	9801	2871	79.21	4019.5601	564.26
6	39	170	1521	28900	6630	1.21	57.76	8.36
7	27	120	729	14400	3240	118.81	1797.76	462.16
8	51	160	2601	25600	8160	171.61	5.76	-31.44
9	32	155	1024	24025	4960	34.81	54.76	43.66
10	35	170	1225	28900	5950	8.41	57.76	-22.0400

Tableau 1 : calculs relatifs à l'âge x et au revenu y

n°	x	y	x²	y²	xy	(x-mx)²	(y-my)²	(x-mx)(y-my)
1	250	600	62500	360000	150000	7673.7598	78400	24528
2	160	450	25600	202500	72000	5.7600	16900	-312
3	165	370	27225	136900	61050	6.7600	2500	130
4	175	250	30625	62500	43750	158.7600	4900	-882
5	99	400	9801	160000	39600	4019.5601	6400	-5072
6	170	120	28900	14400	20400	57.7600	40000	-1520
7	120	160	14400	25600	19200	1797.7600	25600	6784
8	160	320	25600	102400	51200	5.7600	0	0
9	155	350	24025	122500	54250	54.7600	900	-222
10	170	180	28900	32400	30600	57.7600	19600	-1064

Tableau 2 : calculs relatifs au revenu x et à l’emprunt y

n°	x	y	x²	y²	xy	(x-mx)²	(y-my)²	(x-mx)(y-my)
1	1300	600	1690000	360000	780000	21904	78400	41440
2	1150	450	1322500	202500	517500	4	16900	-260
3	850	370	722500	136900	314500	91204	2500	-15100
4	770	250	592900	62500	192500	145924	4900	26740
5	450	400	202500	160000	180000	492804	6400	-56160
6	1400	120	1960000	14400	168000	61504	40000	-49600
7	1400	160	1960000	25600	224000	61504	25600	-39680
8	1300	320	1690000	102400	416000	21904	0	0
9	1500	350	2250000	122500	525000	121104	900	10440
10	1400	180	1960000	32400	252000	61504	19600	-34720

Tableau 3 : calculs relatifs au patrimoine x et à l’emprunt y

3. Corrélation entre données groupées.

Notre objectif est de comparer les paramètres statistiques suivant qu’ils sont calculés sur les données individuelles ou après regroupement.

Le tableau ci-dessous donne la qualité générale et le coût global des voitures par segments (cf. exercice 2 du chapitre 1, exercice 5 du chapitre 2). Les valeurs numériques ont été arrondies à la seconde décimale pour faciliter les calculs.

	Groupe	effectif	qualité générale	coût global
1	petites	5	14.49	14.45
2	petites familiales	8	14.55	13.56
3	petites familiales diesel	5	14.44	15.15
4	petites familiales turbodiesel	5	15.31	13.95
5	familiales	5	15.71	12.60
6	familiales turbodiesel	8	15.35	13.63
7	routières	5	15.69	10.95
8	routières turbodiesel	8	16.01	12.75
9	breaks	5	13.65	14.15
10	monospaces	8	14.50	13.09
11	prestige	5	16.93	6.10

1) Calculer la moyenne et la variance des notes de qualité générale et de coût global (attention, il s’agit de la moyenne et de la variance de données classées). Comparer aux valeurs calculées sur les données individuelles que nous donnons ci-dessous :

	moyenne	variance
Qualité générale :	15.14	1.25
Coût global :	12.85	5.56

2) Construire la représentation graphique des couples (qualité générale, coût global). On représentera chaque couple par un disque dont l’aire est proportionnelle à l’effectif (un exemple est donné en figure 3 du chapitre 3).

3) Calculer le coefficient de corrélation sur les données groupées et le comparer à la valeur calculée sur les données individuelles (égale à -0.627).

4. Corrélation, causalité, prévisions.

1) Que peut-on penser intuitivement de l’effet de l’augmentation du trafic automobile sur les routes et autoroutes sur le nombre d’accidents ? Que peut-on en déduire a priori sur le coeficient de corrélation linéaire ?

2) Calculer le coefficient de corrélation du nombre d’accidents (NA) et du trafic véhicules sur route (TVéR) à paertir des données figurant ci-dessous. Sa valeur est-elle conforme à l’intuition précédente ? Expliquer pourquoi.

3) Effectuer la régression linéaire du trafic véhicules sur route (TVéR) par l’année numérotée de 85 à 97. A combien peut-on l'estimer pour l’an 2000 ? Calculer le coefficient de corrélation linéaire, la moyenne et la variance des résidus.

4) Quelle est l’augmentation moyenne annuelle du trafic véhicules sur route ? Calculer les approximations données par cette augmentation moyenne pour 1990, 1995, 1996 et 1997 connaissant la valeur 1985. Comparer les erreurs commises aux résidus précédents.

5) Effectuer la régression du nombre d’accidents (NA) par l’année. En déduire une prévision pour l’an 2000.

6) Effectuer la régression du nombre d’accidents (NA) par le trafic véhicules sur route (TVéR). Que peut-on en conclure ?

On donne ci-dessous des statistiques sur le transport routier en France :

année	TvéR	NA
85	650.9	191.1
90	774.3	162.6
95	829.1	132.9
96	841.1	125.4
97	863.3	125.2

avec les conventions suivantes :

· TVéR (Trafic Véhicules sur Route) : nombre de véhicules x km sur route (en centaines de millions)

· NA : nombre d’accidents (en milliers)

5. Ajustement exponentiel

On donne ci-dessous des statistiques sur la sécurité routière en France :

année	NT	NB	NA
85	10.4	270.8	191.1
90	10.3	225.9	162.6
95	8.4	181.4	132.9
96	8.13	170.1	125.4
97	8.0	169.6	125.2

avec les conventions suivantes :

· NT : nombre de tués (en milliers)

· NB : nombre de blessés (en milliers)

· NA : : nombre d’accidents (en milliers)

1) Quelle est la nature de la liaison entre l’année et le nombre d’accidents ? On considère comme variable expliquée le nombre d’accidents, et l’année comme variable explicative. Effectuer la régression linéaire et en déduire la prévision du nombre d’accidents pour l’an 2000 . Calculer les erreurs commises en chaque point (en effectifs), leur moyenne et leur variance.

2) On considère comme variable expliquée le logarithme décimal du nombre d’accidents, et l’année comme variable explicative. Effectuer la régression linéaire et en déduire la prévision du nombre d’accidents pour l’an 2000 . Que peut-on dire de la somme des carrés des erreurs commises en chaque point (en effectifs) et de leur moyenne ?

6. Calcul numérique de la droite de régression

On considère le tableau ci-dessous :

n°	x	y	(x-mx)²	(y-my)²	(x-mx)(y-my)
1	-0.0607	0.3266	0.0037	0.2220	-0.0286
2	0.7546	-0.9338	0.5694	0.6228	-0.5955
3	-0.9648	-0.6911	0.9308	0.2987	0.5273
4	0.1275	-1.3859	0.0163	1.5408	-0.1583
5	-0.2533	0.8419	0.0642	0.9732	-0.2499
6	0.2805	0.3406	0.0787	0.2354	0.1361
7	0.2643	1.1344	0.0698	1.6358	0.3380
8	-0.1792	0.1108	0.0321	0.0652	-0.0458
9	-0.2144	-0.7920	0.0460	0.4191	0.1388
10	0.2455	-0.3975	0.0603	0.0640	-0.0621

1) Représenter graphiquement ces couples (x(i), y(i)) i=1, …, 10.

2) Calculer les sommes des observations, la somme des carrés des écarts et la somme des produits des écarts. En déduire les moyennes, variances, et le coefficient de corrélation linéaire.

3) Calculer l’équation de la droite de régression, et représenter cette dernière sur le graphique demandé en première question.

4) Quelle est l’unité statistique dont l’élimination modifierait le plus l’écart type des x(i) ? des y(i) ? la moyenne des x(i) ? Des y(i) ? La covariance ?

5) On décide d’éliminer des données l’unité statistique de rang 3. Calculer le coefficient de corrélation sur les 9 u.s. restantes et l’équation de la droite de régression.

7. régression linéaire et relation non linéaire

On considère le tableau de données ci-dessous :

x	y	x	y
1	1.65	6	20.09
2	2.72	7	33.12
3	4.48	8	54.6
4	7.39	9	90.02
5	12.18	10	148.41

1) Représenter graphiquement les couples (x_i, y_i) i = 1, …, 10.

2) Montrer que le coefficient directeur b de la droite de régression y = b x + a et le coefficient de corrélation r des couples (x_i, y_i) sont liés par la relation :

			sy
b	=	r	^____
			sx

s_x et s_y étant les écarts types des séries (x_i) i = 1, …, n et (y_i) i = 1, …, n.

3) Effectuer la régression linéaire de Y par X à l’aide des résultats fournis ci-dessous.

Sommes
des observations x:	55
des observations y:	374.66
des carrés x²:	385
des carrés y²:	34843.99
des produits xy:	3194.45

4) On prendra pour valeurs b = 13.74 et a = -38.12 dans la droite de régression
y = b x + a. Calculer la valeur estimée de Y pour x = 5 et x = 12. Représenter la droite sur le graphique.

5) Calculer les résidus et leur variance. Que peut-on en dire ?

8. Régression et prévision

On considère dans cet exercice un couple de variable (X, Y) dont on dipose de 150 observations (x_i, y_i), i = 1, …, 150.

	xi	yi
somme des observations	1503.11	1527.24
somme des carrés	15374.69	16312.51
somme des produits	15012.36

1) Les coefficients d’asymétrie et d’aplatissement sont les suivants :

	xi	yi
asymétrie	0.19	0.60
aplatissement	3.21	3.53

Que peut-on dire des répartitions des variables X et Y ?

2) Calculer les moyennes, les variances. Calculer la covariance des couples (x_i, y_i) et le coefficient de corrélation. Ce dernier est-il très différent de 0 ?

3) Effectuer la régression de la variable Y par la variable X. Quelle est la valeur estimée de Y pour x = 10 ?

9. montant des achats et nombre d’enfants.

Effectuer la régression du montant des achats des clients d’Euromarket (y) par le nombre d'enfants (x) dans la clientèle d'Euromarket. Critiquer les résultats de cette régression.

On donne les résultats suivants :

Sommes
des observations x:	91
des observations y:	15847.25
des carrés x²:	219
des carrés y²:	7167830
des produits xy:	35544.79
des produits (x-mx)(y-my):	6702.795

Liste des résidus :

1	-314.9647	2	-166.4272	3	-250.6372	4	-148.8796
5	-174.0796	6	-113.9647	7	13.6853	8	405.7828
9	376.3853	10	-35.5822	11	167.0153	12	247.1053
13	40.1504	14	87.5404	15	80.6028	16	-49.6472
17	-88.4072	18	-23.3296	19	-123.6972	20	-48.5396
21	-164.9972	22	-78.6496	23	-184.8872	24	-65.3972
25	204.7079	26	-150.8647	27	360.4778	28	-25.1921
29	-118.7596	30	11.4879	31	16.1579	32	364.3379
33	-148.8672	34	-119.1872	35	-88.8872	36	-88.6772
37	125.0253	38	-38.2972	39	145.7853	40	-88.6396
41	-98.6472	42	-48.7972	43	153.3679	44	-33.6472
45	55.3353	46	25.5153	47	-129.2172	48	136.4604
49	106.9204	50	85.9204

10. Session au BTS Commerce International (1983)

Observations :

· Les résultats seront justifiés par le détail des calculs nécessaires;

· Il sera tenu compte de la qualité de la présentation.

L'équipe dont vous faites partie réalise une étude sur une grande surface implantée dans la banlieue résidentielle d'une grande ville de l'Ouest.

Vous avez recensé les renseignements suivants (valeurs exprimées en dizaine de milliers de francs courants) :

Années	1976	1977	1978	1979	1980	1981
Ventes	4500	4800	4950	5100	5250	5400
Dépenses publicitaires	26	27	29	31	32	35

1) Calculez le pourcentage d'accroissement du chiffre d'affaires de chaque année par rapport à celui de 1976 (présentez vos résultats sous forme de tableau).

Les indices des prix de détail à la consommation sont les suivants (base 100 en 1962) :

1976 : 229.8

1977 : 251.4

1978 : 274.1

1979 : 303.6

1980 : 344.8

1981 : 391.0

Quel commentaire appellent ces résultats compte tenu de l'évolution générale des prix pendant ces périodes ?

2) Vous estimez qu'il existe un rapport entre dépenses publicitaires et ventes réalisées au cours de la même année. Pour tester cette hypothèse, calculez le coefficient de corrélation entre ces deux variables (présentez le détail des calculs dans un tableau).

3) Commentez le résultat obtenu.

4) Le coefficient que vous venez de calculer vous permet de poursuivre votre analyse; le budget publicité pour l'année 1982 est de 37 (dizaines de milliers de francs), déterminez le chiffre d'affaires prévisionnel correspondant.