Moyennes mobiles et variations saisonnières

Soit x_t une série chronologique de période p = 2 k +1 définie de la façon suivante :

x_t = s_t + e_t

où e_t est la v.a. qui caractérise la variation accidentelle, c’est-à-dire la différence entre l’observation x_t et la valeur donnée par le modèle.

Calculons les moyennes mobiles de longueur l = p = 2 k + 1 :

mmt

=

( st-k + st-k+1 + … + st-1 + st + st+1 + … + st+k) / l

On sait que par hypothèse la somme de tous les coefficients saisonniers est égale à 0 :

s₁ + s₂ + s₃ + … + s_p = 0

On sait aussi que ces coefficients saisonniers représentent une variation périodique de période k :

s_p+1 = s₁, s_p+2 = s₂, …s_p+k = s_k

On en déduit que la moyenne mobile est nulle . Par exemple :

t = k + 1	mmk+1	=	(s1 + s2 + s3 + … + sp) / p	= 0
t = k + 2	mmk+2	= =	(s2 + s3 + s4 + … + sp + sp+1) / p (s2 + s3 + s4 + … + sp + s1) / p	= 0
t = k + 3	mmk+3	= =	(s3 + s4 + … + sp + sp+1+ sp+2) / p (s3 + s4 + … + sp + s1 + s2) / p	= 0

Les moyennes mobiles de longueur impaire l égale à la période des variations saisonnières sont donc nulles. On montre que cette propriété est vraie aussi pour les moyennes mobiles de longeur paire, et d’une façon plus générale quer les moyennes mobiles dont la longueur est un multiple de la période des varaiations saisonnières sont nulles.