Indépendance de deux variables aléatoires qualitatives

Soient X et Y deux variables qualitatives. Nous montrons ci-dessous l’équivalence entre l’indépendance de ces v.a. et l’égalité des lois conditionnelles en lignes. On en déduit de façon évidente l’équivalence entre :

· l’indépendance et l’égalité des lois conditionnelles en colonnes ;

· l’égalité des lois conditionnelles en lignes et l’égalité des lois conditionnelles en colonnes.

Supposons l’indépendance. On a, par définition de la probabilité conditionnelle :

	P[ Y = yj, X = xi ]
pj^i = P(Y = yj / X = xi) =	^_________________________
	P(X = xi)

L’indépendance est caractérisée par :

P[ Y = y_j, X = x_i ] = P(Y = y_j) P(X = x_i)

D’où l’égalité quels que soient i et j :

P(Y = y_j / X = x_i) = P(Y = y_j)

Cette équation caractérise l’égalité des lois conditionnelles en ligne.

Réciproquement, supposons l’égalité précédente quel que soit i et j. On a :

	P[ Y = yj, X = xi ]
pj^i = P(Y = yj / X = xi) =	^_________________________
	P(X = xi)

Soit :	P[ Y = yj, X = xi ] = P(Y = yj / X = xi) x P(X = xi)
D’où enfin :	P[ Y = yj, X = xi ] = P(Y = yj) x P(X = xi)

ce qui est la définition de l’indépendance.