fonction exponentielle

Les fonctions logarithme et exponentielle sont des fonctions fondamentales dans toutes les sciences appliquées. Il est très regrettable que dans certaines sections de l’enseignement du second degré, ces fonctions ne soient plus étudiées. Les étudiants de ces sections qui veulent poursuivre leurs études seront toujours amenés à utiliser ces fonctions et donc obligés de rattraper ce retard.

Reprenons l’exemple donné dans le chapitre 6 : un capital C₀ de 100F placé à un intérêt de 10% par an n’augmente pas de façon linéaire, mais exponentielle : la première année, il augmente de 10F, et sa valeur actuelle à la fin de l’année 1 est égale à

C₁ = C₀ + 10% C₀ = C₀ (1 + 0.1) =110 F

Le capital investi est donc égal à C₁ pendant toute la deuxième année : il rapporte encore 10%, et à la fin de l’année 2, il est égal à :

C₂ = C₁ (1 + 0.1) = C₀ (1+ 0.1)² = 121 F

De la même façon, à la fin de l’année 3, il est égal à C₃ = C₀ ( 1 + 0.1)³, .... . à la fin de l’année t, il est égal à :

C_t = C_t-1 (1 + 0.1) = C₀ (1+ 0.1)^t

On a donc établi la relation entre la valeur actuelle du capital et l’année t : par définition, la fonction qui au nombre t fait correspondre le nombre (1 + 0.1)^t est une fonction exponentielle.

On peut considérer les années antérieures au lieu des suivantes : le nombre t est alors négatif. Le temps peut être aussi mesuré en mois (1/12 d’année), en jours (1/365) etc…. Le nombre t n’est donc pas toujours une valeur entière et on définit la fonction exponentielle comme fonction d’une variable réelle x de la façon suivante :

f(x) = a^x

Les valeurs de a utilisées généralement sont 2.718281828459…et 10. La première valeur est notée e (comme Euler) et est définie de façon que la dérivée de la fonction y = e^x soit y’ = e^x.

(cf. propriétés page suivante)

propriétés fondamentales de la fonction exponentielle :

· Elle est définie pour les valeurs a positives, et quel que soit le nombre réel x ;

· Elle prend des valeurs strictement positives ;

· Pour a > 1, elle est croissante et tend vers + µ lorsque x tend vers + µ ;

· Pour a Î ] 0, 1[ elle est décroissante et tend vers 0 lorsque x tend vers + µ ;

· Pour a = 1, elle est constante.

· la dérivée de la fonction f(x) = e^x est f(x)’ = e^x. Cette propriété signifie que la pente de la tangente en x est égale à l’ordonnée f(x) = e^x du point.

· la fonction réciproque de la fonction exponentielle est la fonction logarithme :

f(x) = e^x Û x = ln f(x)

· les fonctions f(x) = e^x et g(x) = a^x sont liées par la relation ci-dessous :

a^x = e^{x lna}