Devoir surveillé de Statistiques

(1^e année, 18/10/2002)

I. Diagrammes de données discrètes.

1) 100 personnes donnent une note comprise entre 1 et 5 à quatre spécialités de film suivant leurs préférences :

film d’aventure (1), de science fiction (2), policier (3) , psychologique (4).

On obtient les répartitions suivantes :

note	effectif (1)	effectif (2)	effectif (3)	effectif (4)
1	10	10	10	40
2	20	30	20	20
3	40	20	5	10
4	20	30	35	20
5	10	10	30	10

Calculer les moyennes et les variances des notes dans chaque cas. Construire les diagrammes correspondants.

2) Indiquer le signe des coefficients d’asymétrie dans chaque cas.

II. Histogramme de données continues.

On analyse les achats en euros de 144 clients d’un magasin que l’on a répartis dans les intervalles ci-dessous :

Classes	Effectifs
[0, 10 [	16
[10, 20 [	16
[20, 25 [	16
[25, 30 [	16

Classes	Effectifs
[30, 40 [	16
[40, 60 [	16
[60, 80 [	16
[80, 100 [	16
[100, 150 [	16

1) Construire l’histogramme. Le coefficient d’asymétrie est égal à 0.798. Que peut-on en dire ? Donner une valeur approximative de la médiane.

2) Calculer la moyenne, la variance et le coefficient de variation à partir des résultats suivants :

Somme des valeurs	Somme des carrés
7040	541 800

Quel est l’ordre de grandeur des achats ?

3) Un client a acheté pour 92 euros de marchandises. Calculer la valeur centrée réduite de son achat. Est-ce un client important ? Même question pour un client dont les achats s’élèvent à 5 euros. Que peut-on dire des clients dont les achats sont très faibles ? Conclure en commentant la règle.

4) On considère la moyenne m₂’ des carrés des écarts entre la médiane mé et les observations :

m₂’ = [(x₁ – mé)² + (x₂ - mé)² + … + (x₁₄₄-mé)²] / 144

Comparer (sans calcul) m₂’ et la variance s² des observations.

5) On note m la moyenne d’une série d’observations (x_i) i = 1, …,n. Montrer la relation ci-dessous :

1	n			1	n
^___	S	(xi – x)^2	=	^___	S	(xi – m)^2 + (xi – m)^2
n	i = 1			n	i = 1