Thierry Foucart

Département TC

Châtellerault

Devoir surveillé de Statistiques

(1e année, 14 avril 2006)

 

Barème (pour des réponses complètes, justifiées rapidement et présentées correctement sans faute de français ni d’orthographe ):

1) 2

2) 3

3) 3

4) 3

5) 3

6) 3

7) 3

On considère deux variables X et Y dont on dispose de 52 observations (xi, yi). On trouvera en annexe la représentation graphique de ces couples, les résultats numériques et les tables statistiques nécessaires pour répondre aux questions. On conservera le texte et les tables statistiques et on remettra cette annexe complétée avec la copie. Les justifications des réponses seront données sur la copie et non sur l’annexe.

1) Calculer les moyennes mX, mY, et les variances sX2, sY2 des variables X et Y et leur covariance cov(X,Y). Que peut-on dire la valeur numérique de la covariance obtenue ?

2) Calculer le coefficient de corrélation linéaire r(X,Y) (on donnera deux décimales). Que peut-on dire de ce coefficient si on multiplie toutes les valeurs xi par 2 et on divise toutes les valeurs yi par 4 ? Ce coefficient de corrélation peut-il être considéré comme grand en valeur absolue ? Montre-t-il l’existence d’une relation linéaire ?

3) Calculer les coefficients b et a de l’équation y = b x + a de la droite de régression de Y par X. Quelle valeur de Y prévoit-on pour x = 2 ?  Pour x = – 2 ? Que peut-on dire de ces prévisions ?

4) Quelle est la moyenne des résidus ? Leur variance ? On donne les observations ci-dessous :

i

xi

yi

6

1.2873

-2.0458

18

0.4225

1.0767

Calculer les résidus e6 et e18.

5) Construire à l’intérieur du cadre prévu dans l’annexe l’histogramme des résidus suivant la répartition ci-dessous : 

[-2.0 , -0.7 [

8

[-0.7 , -0.3 [

5

[-0.3 , 0.3 [

22

[0.3 , 0.7 [

9

[0.7 , 2.0 ]

8

6) On donne ci-dessous le coefficient d’asymétrie et le coefficient d’aplatissement des résidus :

cas = –0.126

cap = 2.836

Peut-on considérer que les résidus sont répartis suivant la loi normale ?

7) Que peut-on dire des résidus e6 et e18 précédents ?

Résultats numériques (n = 52 observations) :

Somme des observations xi:

-7.893781

des carrés xi²:

54.22464

Somme des observations yi:

7.885101

des carrés yi²:

40.84260

Somme des produits xiyi:

-31.41701

 

 

Annexe (à remettre avec le devoir)

 

Nom

Prénom

Groupe

 

mX =

mY =

sX2 =

sY2 =

cov(X,Y) =

r(X,Y) =

b =

a =

pour x = 2, y =

Pour x = –2, y =

moyenne des résidus =

s2  =

e6 =

e18 =

 

Représentation graphique des couples (xi, yi) i = 1, …52.

 

Histogramme des résidus ei, i = 1, …52
Tables statistiques

 

n

valeur limite

n

valeur limite

n

valeur limite

10

0.6319

60

0.2542

150

0.1603

20

0.4438

70

0.2352

160

0.1552

30

0.3610

80

0.2199

170

0.1506

40

0.3120

90

0.2072

180

0.1463

50

0.2787

100

0.1966

200

0.1388

Valeurs limites des coefficients de corrélation

dans le cas de lois normales

 

 

Coefficient d’asymétrie

Coefficient d’aplatissement

Effectif de

l’échantillon

5%

1%

Effectif de

l’échantillon

1%

5%

95%

1%

7

1.018

1.457

7

1.25

1.41

3.55

4.29

8

0.998

1.452

8

1.31

1.46

3.70

4.53

9

0.977

1.433

9

1.35

1.53

3.86

4.82

10

0.954

1.407

10

1.34

1.56

3.95

5.00

12

0.910

1.353

12

1.46

1.64

4.05

5.20

15

0.851

1.272

15

1.55

1.72

4.13

5.30

20

0.772

1.155

20

1.65

1.82

4.17

5.36

25

0.711

1.061

25

1.72

1.91

4.16

5.30

30

0.662

0.986

30

1.79

1.98

4.11

5.21

35

0.621

0.923

35

1.84

2.03

4.1

5.13

40

0.587

0.870

40

1.89

2.07

4.06

5.04

45

0.558

0.825

45

1.93

2.11

4.00

4.94

50

0.534

0.787

50

1.95

2.15

3.99

4.88

60

0.492

0.723

 

 

 

 

 

70

0.459

0.673

75

2.08

2.27

3.87

4.59

80

0.432

0.631

 

 

 

 

 

90

0.409

0.596

 

 

 

 

 

100

0.389

0.567

100

2.18

2.35

3.77

4.39

Valeurs limites des coefficients d’asymétrie et d’aplatissement

dans le cas de lois normales