Etude mathématique de quelques cas pratiques

Décollage d’une fusée

Une fusée part verticalement du sol, sans vitesse initiale. L’intensité de la pesanteur g est supposée constante. Cette fusée, de masse totale initiale m_i, contient un volume de carburant de masse m_c dont une quantité m est éjectée par seconde à la vitesse v_c vers l’arrière de celle-ci.

A un instant t donné, on peut déterminer l’équation différentielle du mouvement, compte tenu du principe fondamental de la dynamique ().

où représente la masse de la fusée à l’instant t

représente la force de la poussée

a représente l’accélération du mobile

• Réécrire et résoudre l’équation différentielle permettant de déterminer la vitesse v de la fusée au cours du temps, en tenant compte des conditions initiales.
• Le temps t_f de fin de combustion est le rapport de la masse de carburant m_c sur la vitesse d’éjection du combustible m. Quelle est alors la vitesse de la fusée ?
• Connaissant ces deux conditions aux limites (t=0 et t=t_f), qu’elle est l’altitude z atteinte par la fusée en fin de combustion ?
• Pour résoudre cette intégrale, faire le changement de variable adéquat afin de se ramener à la forme suivante :