EQUATIONS DIFFERENTIELLES

Définition

Une équation différentielle est une égalité entre une fonction (appelée généralement y) de la variable x, ses dérivées (première, seconde, etc…), et la variable x elle même.

Exemple :

y'' + 5y' -3y = 7x + 6

Résoudre cette équation différentielle consiste à trouver quelle(s) fonction(s) y(x) vérifie(nt) cette égalité pour tout x.

Applications :

Les équations différentielles sont utiles pour prévoir le comportement d'un système (généralement un système physique) lorsqu'on connaît les lois qui régissent ce comportement.

Par exemple : Si on note y la population d'une espèce, la variation de cette population au cours du temps est la dérivée de y, c'est à dire y'. Exprimons cette variation de population :

- Elle augmente proportionnellement au taux de natalité TN.

- Elle diminue proportionnellement au taux de mortalité TM.

- Globalement on obtient une augmentation de population : y' = ( TN - TM ) y

On reconnaît une équation différentielle de la fonction y puisqu'il y a du y et du y'. Finalement, si l'on veut connaître la population à n'importe quel instant t, il faut trouver la fonction y(t) c'est à dire résoudre l'équation différentielle y' = ( TN - TM )y