Soit une machine monophasée au stator et au rotor :

 

On utilisera la représentation de la figure de droite. Chaque bobine à K_b.N spires, K_b étant le facteur de bobinage de l'armature et N son nombre de conducteurs.

On travaillera sur une machine à 2 pôles en utilisant l'angle électrique q = p.q_m

Inductances

Expression des flux

Les deux armatures de la machine absorbent l'énergie :

Si on décompte les pertes par effet Joule, nous obtenons la puissance utilisable :

Cette énergie sert :

Nous avons en déduisons l'expression de la puissance électromagnétique : dW_em = dW_i - dW_magn soit :

Le moment du couple est la somme de quatre termes sinusoïdaux de quatre fréquences différentes.

Pour que sa valeur moyenne soit différente de 0, il est nécessaire qu'au moins une des fréquences soit nulle, ce qui donne un terme constant.

La condition pour avoir un couple de moment non nul est : p.W = ±ws ± wr

3 Transformation triphasé – diphasé

On veut définir l'équivalence entre deux armatures l'une triphasée équilibrée et l'autre diphasée équilibrée :

 

L'équivalence implique que les champs magnétiques des deux armatures soient identiques .

Une armature triphasée à 2.p pôles est formé de trois enroulements identiques dont les axes sont

décalés de 2.p/3.p et alimentées par un système équilibrés de courants triphasés.

Au point M défini par q_t = (OA,OM), la forme magnétomotrice est :

L'armature triphasée crée un champ tournant

Une armature diphasée est formée de deux bobinages d'axes orthogonaux alimentés par des courants en quadrature

Le champ créé étant de même nature que celui de l'armature triphasé, on peut établir une relation d'équivalence entre les armatures.

Si on veut que les deux armatures créent le même champ, en projetant _{e = ea + eb + ec} sur l'axe d, on doit obtenir e_d et sur l'axe q, on doit obtenir e_q .

Sous forme matricielle, on a :

La matrice de transformation dite matrice de Clarke n'est pas carrée donc ne peut être inversée

pour passer du diphasé au triphasé. On va ajouter une composante dite homopolaire io = g.(ia + ib + ic )

correspondant à une f.m.m. sur un axe Oo perpendiculaire au plan (Od,Oq). Cette composante

sera généralement nulle.

 

Il reste à déterminer les coefficients K'.N' et g.

Plusieurs points de vue sont possible suivant les grandeurs que l'on veut conserver dans la transformation.

on adopte alors la matrice [A] pour transformer les courants et une matrice [B] pour transformer

les tensions :

Si on désire conserver les valeurs efficaces et les puissances, les matrices [A] et [B] sont différentes.

Dans la transformation de Park, on adoptera la même matrice [P] = [A]  pour toutes les grandeurs tensions, courants, flux.

La puissance n’est donc pas conservée et

p = v_a.i_a + v_b.i_b + v_c.i_c =3.( v_d.i_d + v_q.i_q )/2 + 3. v_o.i_o ;

 

Dans la grande majorité des cas, le système des courants est équilibrée donc la composante homopolaire io est nulle. Le système diphasé comprend deux axes. Les grandeurs des axes d, q étant en quadrature, on peut représenter leurs valeurs par un seul nombre complexe i_dq = i_d + j.i_q; on peut alors considérer que chaque armature n'a qu'un bobine parcourue par une intensité complexe.

Dans une machine tournante, il faudra modéliser simultanément les bobinages du stator et du rotor.

On utilise les mêmes axes d et q pour les deux armatures.

 

 

 

 

 

Les bobinages équivalents stator et rotor sont fixes l'un par rapport à l'autre, ce qui rend l'induction mutuelle L_sr constante.

Il y a alors deux matrices de Park correspondant à deux valeurs de y différentes : [P(q_s)] pour le stator et [P(q_r)] pour le rotor.

Dans une machine alternative, on peut :

v     lier l'axe d au stator donc y_s = 0 et y_r = p.W.t

v     lier l'axe d au rotor donc y_s = p.W.t et y_r = 0

v     lier l'axe d au champ tournant stator donc y_s = w_s.t et y_r = g.w_s.t

 

Tensions

La matrice des flux est très simple en diphasé car la mutuelle entre les deux bobinages d'axes

perpendiculaires est nulle :

4 Modèle de la machine synchrone:

Le stator porte un bobinage triphasé à 2.p pôles.

Le rotor porte :

v     un bobinage d'excitation alimenté par un courant continu

v     un amortisseur Leblanc formé de barres placées dans les pôles du rotor et court-circuitées par des bagues sur chaque face.

 

On choisit de caler l'axe d sur l'axe du rotor. On a donc y_s = p.W.t et y_r = 0.

v     L'armature stator subit donc une transformation de Park.

v     Le bobinage de magnétisation du rotor calé sur l'axe d n'est pas modifié

v     L'enroulement amortisseur est décomposé en deux enroulements, l'un agissant suivant l'axe d et l'autre sur l'axe q.

y_s = p.W.t = w_s.t et y_r = 0 donc :

p(t) = u_a.i_a + u_b.i_b + u_c.i_c + v_r.i_r ; les enroulements amortisseurs D et Q sont en court-circuit donc ne participent pas au bilan de puissance.

p(t) = 3.(u_ds.i_ds + u_qs.i_qs)/2+ 3.u_o.i_o + v_r.i_r    = dW/dt

Avec les équations ci-dessus :

Le premier terme représente les pertes par effet Joule dans le stator et le rotor.

Le deuxième terme est de la forme i.dj = L.i.di = d(L.i²/2); il représente donc les variations d'énergie magnétique stockée dans la machine.

Le troisième terme représente donc l'énergie mécanique : dWem = Tem.dqm = Tem.ws.dt/p donc

Tem =3.p.(iqs.jds - ids.jqs)/2

Utilisons les équations des flux pour exprimer le moment du couple ; posons

Tem = Tsy + Trel + Tasy

¯   Le couple synchrone T_sy est le couple de la machine synchrone. On voit qu'il est proportionnel

au flux du rotor et au courant d'axe q ; cela rappelle la machine à courant continue  :

Si on maintient i_ds = 0, le flux est fixé uniquement par le courant inducteur de la machine.

¯   Le couple de réluctance T_rel n'existe que dans les machines à pôles saillants : la loi du flux maximum fait que le rotor tend à aligner son pôle Nord sur le champ tournant. Pour une machine à pôles lisses L_d = L_q.

¯   Le couple asynchrone T_asy créé par la cage amortisseur n'existe que durant les phases transitoires où la vitesse du rotor est différente de la vitesse de synchronisme

5 Machine asynchrone

La machine possède deux bobinages de même nature au stator et au rotor : 3 phases et 2.p pôles.

 

Le principe de la modélisation est d'utiliser les mêmes axes d,q pour les deux armatures. On aura donc deux matrices de Park [P_s] pour le stator avec y = y_s =(ast,d) et [P_r] pour le stator avec y = y_r =(ar,d).

L'avantage de ce modèle est que les inductances mutuelles entre stator et rotor sont constantes et que le flux sur un axe ne dépend que des courants stator et rotor de cet axe.

Les positions d'axe d retenues peuvent être :

Ø      lier l'axe d au stator : y_s = 0 et y_r = w.t avec w = p.W vitesse électrique du rotor; ce choix convient pour étudier les grandeurs statoriques car [P_s] est indépendante du temps

Ø      lier l'axe d au rotor : y_r = 0 et y_s = -w.t; ce choix convient pour étudier les grandeurs rotoriques car [P_r] est indépendante du temps

Ø      lier l'axe d au champ tournant stator : y_s = w_s.t, avec  w_s = 2.p.f vitesse électrique de synchronisme;

y_r = (w_s-w).t = g.w_s, g étant le glissement.

Les équations générales du paragraphe 3.7 s'appliquent; l'absence de fil neutre au rotor et au stator

implique la nullité des composantes homopolaires. De plus les enroulements rotoriques sont en court-circuit:

Le rotor étant en court-circuit, il ne participe pas au calcul de la puissance :

Les équations ci-dessus font apparaître les paramètres du rotor R_r et L_r que l’on ne peut mesurer sur  une machine à rotor à cage. On doit donc modifier les équations pour obtenir un modèle utilisable dans tous les cas.

On va faire apparaître le rapport k = L_s/M, le coefficient de dispersion de Blondel caractérisant les fuites :

s = 1-M²/(L_s.L_r) et la constante de temps électrique du rotor t_r = L_r/R_r.

Les grandeurs rotoriques, flux et courants sont alors multipliées par k : j’_r = k.j_r et i’_r = k.i_r.

Tous calculs faits, il vient :