1 Réaction d'induit

1.1 Champ créé par l'inducteur

L'inducteur est le rotor de la machine; il est alimenté par un courant d'excitation continu d'intensité I_e. Cette  armature à 2.p pôles tourne à la vitesse de synchronisme n_s constante. Il crée un champ B_e de direction radiale dans l'entrefer et tournant à la vitesse angulaire W_s = p.w_s = 2.p.n_s /60. Le flux par pôle correspondant F_e crée dans une phase du stator une f.é.m efficace e_v liée au courant inducteur par la caractéristique à vide. Le flux est maximal dans une spire stator lorsque l'axe d'un pôle Nord passe sur l'axe d'une phase; la f.é.m. dans la spire (-dj /dt)  est en quadrature arrière sur le flux.

1.2 Champ créé par l'induit

L'induit est le stator de la machine portant un bobinage triphasé à 2.p pôles. Lorsque l'armature est parcourue par un système de courants triphasés équilibrés de fréquence f = w /2.p ,elle crée, d'après le théorème de Ferraris, un champ tournant B_s à la vitesse W_s = p.w . Ce champ de réaction d'induit modifie l'état magnétique en charge. Le stator est équivalent à un rotor fictif à 2.p pôles, alimenté en continu, et tournant à W_s = p.w. L'axe d'un pôle Nord de ce stator passe sur l'axe d'une phase lorsque le courant y est maximal.

1.3 Champ résultant en charge

Lorsque la machine fonctionne en génératrice à vide, la tension v aux bornes d'une phase est égale à la f.é.m. à vide e_v créée par le champ inducteur.

Lorsque la machine fonctionne en charge, il existe deux champs de même nature, c'est à dire deux champs tournants à la vitesse W_s. Le flux en charge résulte de la composition de ces deux champs; la f.é.m. par phase en charge e_ch est donc fonction des courants induit et inducteur.

La tension aux bornes d'une phase est v = e_ch ± R_s.j (+ pour un moteur, - pour un générateur), avec R_s  résistance d'une phase stator et j  intensité du courant dans la phase .

Pour connaître la tension en charge, il est nécessaire de savoir relier e_ch aux courants d'induit et d'inducteur.

2 Conventions de signe

La machine synchrone est réversible, elle peut fonctionner en générateur ou en moteur; nous pouvons étudier son fonctionnement avec les conventions de signes correspondantes:

conventions en générateur ou alternateur

L'intensité dans une phase a le sens de la f.é.m.; nous avons v = e_ch - R_s.j; les puissances électriques active et réactive sont positives si elles sont fournies par la machine; la puissance mécanique est positive lorsqu'elle est fournie à la machine.                         

conventions en récepteur ou moteur

L'intensité dans une phase a le sens opposé à celui de la f.é.m.; nous avons v = e_ch + R_s.j; les puissances électriques active et réactive sont positives si elles sont reçues par la machine; la puissance mécanique est positive lorsqu'elle est fournie par la machine.

Nous utiliserons la convention qui correspond au fonctionnement réel de la machine; en cas de fonctionnement réversible, nous utiliserons la convention correspondant au fonctionnement prépondérant; il s'agit en général d'un moteur fonctionnant en alternateur durant les phases de freinage.

3 modèle linéaire

3.1 Établissement du modèle

Pour résoudre le problème de la réaction d'induit, nous supposons la machine non saturée; le flux par pôle en charge est alors la somme des flux créés par l'inducteur et l'induit et ces flux sont proportionnels aux courants créateurs.

L'état magnétique de la machine résulte de l'action de deux rotors:

v     le rotor réel créant le champ inducteur b_e; dans un diagramme temporel ce champ est en quadrature avant sur la f.é.m de phase à vide e_v.

v     le rotor fictif (c'est à dire sans circuit magnétique réel) équivalent à l'induit créant le champ b_s; dans un diagramme temporel ce champ est en phase avec l'intensité d'induit.   

Le champ résultant en un point de l'entrefer est la somme des deux champs b_e et b_s de même direction radiale mais déphasés dans le temps. La somme doit être faite sur un diagramme temporel de Fresnel mais les phases des deux champs sont malheureusement liées à deux grandeurs e_v et _j qui n'existent jamais ensemble!

Envisageons ce qui se passe dans une phase:

v     le flux j_e créé par le courant inducteur I_e, induit dans une phase du stator la f.é.m e_v .

v     le flux j_s créé par le rotor fictif dans une phase de l'induit est dû aux trois phases du stator. Ecrivons le flux embrassé par la phase 1: j_s1 = j₁₁ + j₁₂ + j₁₃ ; j_s1 =L₁.j₁+M₁₂.j₂+M₁₃.j₃;

L₁ est l'inductance propre de la phase 1, M₁₂ et M₁₃ sont les inductances mutuelles de la phase 1 avec respectivement les phases 2 et 3. La géométrie du bobinage est telle que M₁₂ =  M₁₃ = M ; il vient j_s1 = L₁.j₁+ M.(j₂ + j₃ ). En régime équilibré j₁ +j₂ + j₃ = 0 d'où j_s1 = (L₁ - M) .j₁.

Le flux créé par l'induit dans une de ces phases est donc proportionnel à l'intensité du courant dans cette phase; nous appelons L_s = L₁ - M inductance cyclique ou synchrone d'une phase stator. Tout se passe donc comme si l'inducteur avait l'inductance propre L_s correspondant à la f.é.m.  complexe

- j.L_s.w.J = - j.X_s.J, en appelant X_s = L_s.w la réactance cyclique ou synchrone.

Les f.é.m. créées par l'induit et l'inducteur s'ajoutent en tenant compte de leurs phases pour donner la f.é.m en charge e_ch.

Nous pouvons alors donner le modèle dit linéaire ou de Behn-Eschenburg d'une phase stator,en utilisant la convention générateur.

Nous faisons apparaître (fig.1.a) :

v     la f.é.m. créée par l'inducteur e_v dont la valeur efficace est reliée à l'intensité d'excitation I_e par la caractéristique à vide

v     l'inductance synchrone L_s modélisant la réaction magnétique d'induit.

v     la f.é.m en charge e_ch résultant de la composition des flux d'induit et d'inducteur

v     la résistance R_s d'une phase de l'induit. 

<3.2 Diagramme de fonctionnement en alternateur

Donnons nous un point de fonctionnement en charge caractérisé par les valeurs efficaces par phase V et J et par le déphasage j = (j ,v). Construisons le diagramme de Fresnel correspondant au modèle linéaire (fig.1.b). Nous portons OA représentant la tension v à l'échelle des tensions et OG représentant j à l'échelle des courants. Nous construisons AB représentant R_s.j  en phase avec j . OB représente la f.é.m. en charge e_ch. Construisons BC représentant L_s.w.J en quadrature avant sur  j ;  OC représente donc  la f.é.m. à vide e_v.

Nous pouvons représenter sur ce même diagramme les vecteurs de Fresnel correspondant à la composition dans le temps des champs magnétiques. Le champ inducteur b_e est en quadrature avant sur la f.é.m. e_v ; il est représenté par OF; le champ d'induit b_s est en phase avec j, il est représenté par FD; le champ résultant est donc représenté  par OD; ce champ crée la f.é.m en charge, il est donc en quadrature avant sur e_ch.

Nous pouvons déduire de ce diagramme des équations liant les grandeurs:

·        en projection sur V, nous avons: E_v.cosq_e = V +R_s.J.cosj +X_s.J.sinj

·        en projection sur la direction orthogonale à V, nous avons: E_v.sinq_e = X_s.J.cosj -R_s.J.sinj     

Ces deux équations nous permettent de calculer deux grandeurs parmi les cinq inconnues :

E_v ,q_e ,V ,J ,j.

3.3 Diagramme de fonctionnement en moteur

Sur la fig.2.a,  nous reprenons le modèle linéaire avec la convention récepteur.

Nous avons : E_ch = V - R_s.J et E_v = E_ch -j.X_s.J. A ce modèle correspond le diagramme de Fresnel de la fig.2.b.

Nous pouvons déduire de ce diagramme des équations liant les grandeurs:

·        en projection sur V, nous avons: E_v.cosq_e = V -R_s.J.cosj -X_s.J.sinj

·        en projection sur la direction orthogonale à V, nous avons:

E_v.sinq_e = R_s.J.sinj -X_s.J.cosj     

Pour la construction des vecteurs de Fresnel associés aux champs magnétiques, nous portons le champ inducteur b_e en OF en quadrature avant sur la f.é.m e_v ; le changement de convention de sens de j, amène à porter la champ stator en opposition de phase avec j en FD; le champ résultant b_ch est en quadrature avant sur la f.é.m en charge.

3.4 Angle interne de la machine

Nous imposons la tension v à la machine en la couplant sur un réseau de puissance disponible très grande devant celle de la machine;

Ø      lorsque la machine est à vide, la f.é.m e_v est égale à v; le champ rotor est donc en quadrature avant sur v; cette direction représente spatialement l'axe du rotor.

Ø      Si nous faisons débiter la machine dans le réseau, elle fonctionne en alternateur ; le diagramme de la fig.1.b montre la rotation de e_v d'un angle q_e dans le sens direct.

La direction du champ rotor tourne du même angle; spatialement cela veut dire que le rotor s'est décalé d'un angle mécanique q = q_e / p en avançant dans le sens de rotation. Cet angle est appelé angle interne de la machine. Pour faire passer la machine en alternateur nous avons exercé un couple moteur sur l'arbre; ce couple tend à accélérer le rotor qui prend donc de l'avance sur le champ tournant stator de vitesse imposée par le réseau; le décalage qui en résulte entre e_v et v provoque l'apparition d'un courant induit qui crée un couple résistant maintenant le synchronisme.

Ø Repartons du fonctionnement à vide et imposons un couple résistant sur l'arbre; le rotor va ralentir et se décaler en arrière ; nous retrouvons la position de la fig.2.b; la machine fonctionne en moteur et le courant induit crée le couple moteur nécessaire pour maintenir le synchronisme.

Nous retrouvons un angle interne  q = q_e / p .

Nous pouvons observer physiquement ce décalage en devenant un observateur lié au champ tournant stator; en pratique nous éclairons le rotor avec un stroboscope donnant des éclairs à la fréquence statorique; celui-ci parait alors immobile; lorsque nous chargeons brusquement la machine en alternateur, nous voyons le mouvement du rotor dans le sens de rotation; après quelques oscillations, le rotor apparaît de nouveau fixe.

Si nous créons un couple résistant sur l'arbre, nous voyons de même le rotor se décaler en arrière.

Les oscillations mécaniques sont gênantes et doivent être amorties par un système d'amortisseurs Leblanc: on place sur le rotor des conducteurs radiaux court-circuités entre eux aux deux extrémités formant une cage. Cette cage est normalement fixe par rapport aux champs tournants donc aucune f.é.m n'est induite dans ses conducteurs; durant les phases d'oscillation, la cage se déplace par rapport aux champs; elle est le siège d'une f.é.m. induite qui crée un courant de court-circuit; d'après la loi de Lenz, ce courant crée un couple s'opposant au mouvement donc amortissant l'amplitude des oscillations.

3.5 Détermination des éléments du modèle

Sur le modèle apparaissent les trois éléments e_v, R_s , X_s.

Ø Pour connaître la f.é.m à vide nous utilisons la caractéristique à vide E_v(I_e) relevée dans un essai à vide en alternateur à vitesse nominale. 

Ø Pour connaître la résistance d'induit, nous la mesurons par une méthode volt-ampèremétrique;

si nous n'avons pas accès aux bornes des phases, nous mesurons la résistance entre bornes R_app

du stator couplé; la résistance d'une phase est R_s = R_app /2 pour un couplage étoile et R_s = 3.R_app /2

pour un couplage triangle.

Ø Pour connaître la réactance synchrone, nous faisons un essai en alternateur à vitesse nominale et

stator en court-circuit. Nous faisons varier le courant inducteur et nous relevons l'intensité du courant

induit J_cc en fonction de l'intensité du courant inducteur I_e. Comme v = 0, le modèle donne:

E_v = (R_s + jX_s).Jcc soit en valeurs efficaces: E_v =J_cc.Ö (R_s² +X_s² ) . La f.é.m. est donc proportionnelle

au courant de court-circuit; en fonctionnement linéaire E_v est proportionnelle à l'excitation donc le

graphe J_cc(I_e) est une droite passant par l'origine des axes. Pour une valeur de I_e, nous lisons Jcc sur le

graphe de court-circuit et Ev sur la caractéristique à vide; nous en déduisons :

X_s = Ö[(E_v /J_cc)² - R_s² ].

3.6 Validité du modèle

Prenons l'exemple d'un alternateur 600 V; 40 kVA ; stator couplé en étoile.  La résistance de l'induit est R_s = 0,5 W par phase.

La fig.3 représente à vitesse nominale la f.é.m à vide E_v par phase, l'intensité J_cc du courant par phase

en court-circuit et la réactance synchrone X_s en fonction de l'intensité d'excitation:

Ø      Dans la partie OM de la caractéristique à vide, la machine n'est pas saturée; la réactance synchrone

est constante de valeur X_s = 3,25 W. Dans ce domaine le modèle proposé est valable.

Ø      Dans la partie MN de la caractéristique à vide la machine commence à se saturer et X_s diminue

lorsque I_e augmente; le modèle proposé n'est plus un modèle linéaire puisque le composant L_s est

fonction du point de fonctionnement.

Nous devons alors adapter le modèle. Deux possibilités s'offrent à nous:     

v     considérer que la machine reste linéaire en adoptant comme caractéristique à vide l'extrapolation de

la partie linéaire, c'est à dire en lisant la f.é.m sur la caractéristique E_sy en pointillés.

Le modèle reste alors linéaire avec X_s =3,25 W, valeur constante mais la f.é.m apparaissant dans le

modèle équivalent n'est plus la f.é.m à vide mais la f.é.m E_sy , dite f.é.m. synchrone, modélisée par

extrapolation de la partie linéaire de la caractéristique à vide.

v     abandonner le modèle linéaire et adopter comme valeur de la réactance synchrone la valeur lue

sur le graphe X_s(I_e ), par exemple  X_s = 2,58 W pour I_{e =} 15A. 

Ø      Dans la partie NQ, la machine est saturée, nous devons abandonner le modèle linéaire et adapter X_s

à I_e par exemple X_s = 1,74 W pour I_e =25 A.

3.7 Prédéterminations

Il s'agit de relier l'intensité d'excitation aux grandeurs d'induit en ligne u, i, j = (j ,v) déphasage imposé par le récepteur. Nous utilisons le modèle linéaire  en raisonnant sur une phase.

Problème direct

 

Nous connaissons le point de fonctionnement de l'induit et nous cherchons le courant d'excitation.

è    Nous commençons par calculer les grandeurs efficaces par phase V et J en utilisation les relations imposées par le couplage : V =U/ Ö3 et J = I en étoile, V = U et J = I /Ö3 en triangle.

è    Nous adoptons comme valeur de X_s celle du modèle linéaire (partie OM de la caractéristique).

è    Nous choisissons les conventions de signes adaptées au fonctionnement.

è    Nous construisons le diagramme  suivant la fig.1.b en conventions générateur ou la fig.2.b en convention moteur; nous en déduisons la valeur efficace de la f.é.m E_v. Nous pouvons utiliser aussi le calcul en écrivant les coordonnées du point C en utilisant le théorème des projections: avec KF =1 pour un générateur et KF = -1 pour un récepteur, il vient :

E_v.cosq_e = x_c = V +KF.(R_s.J.cosj +X_s.J.sinj); E_v.sinq_e  = y_c =KF.( -R_s.J.sinj +X_s.J.cosj) ;  d'où la f.é.m efficace E_v = Ö(x_c^² +y_c^²).

è    Nous lisons alors sur la caractéristique à vide le courant d'excitation I_e correspondant à la f.é.m E. Trois cas peuvent se produire:

·        La valeur de I_e correspond à la partie OM de la caractéristique; nous sommes alors dans les conditions de validité du modèle et le résultat obtenu est conservé.

·        La valeur de I_e correspond à la partie MN, nous pouvons alors adopter comme valeur de Ie celle qui correspond à E_v = E_sy sur la caractéristique de f.é.m synchrone.

·        La valeur de I_e correspond à la partie NQ, nous devons modifier la valeur de X_s en prenant la valeur calculée pour la valeur de I_e obtenue; nous effectuons ainsi des essais successifs jusqu'à obtenir une valeur de I_e quasi égale à celle ayant servi à calculer X_s.

 

Problème inverse

Nous connaissons les grandeurs d'induit I et j et l'intensité du courant inducteur I_e.

è    nous calculons l'intensité par phase J et la réactance synchrone X_s pour le courant I_e donné; nous lisons E_v(I_e) sur la caractéristique à vide.                                                 

è    des équations donnant x_c et y_c nous pouvons déduire la valeur de V; si nous voulons travailler graphiquement, nous nous donnons la direction xx' de la tension V et un point A quelconque sur cette direction; nous traçons alors les vecteurs AB et BC du diagramme de la fig.1.b ou 2.b. Le cercle de centre C et de rayon E_v coupe l'axe xx' en O origine de V: V correspond à  OA.

è    nous calculons la tension U en ligne en utilisant la relation de couplage.

3.8 Modèle simplifié

Dans la plus part des machines, la résistance par phase est petite devant la réactance synchrone; le modèle étudié ne donnant pas des résultats très fiables en raison des adaptations à utiliser, nous pouvons négliger la résistance d'induit. Cette approximation va permettre une utilisation beaucoup plus simple du modèle et du diagramme associé. L'équation de la machine devient : V = E_v ± j X_s.J.

fonctionnement en alternateur

Le diagramme de la fig.1.b se simplifie suivant la fig.4:

OO' représente la tension v et O'A représente X_s.J en quadrature avant sur le courant. OA représente donc la f.é.m E_v . Traçons les axes O'x et O'y avec Ox colinéaire à v et projetons orthogonalement A en K sur O'x et en H sur O'y. O'y étant orthogonal à v et O'A à j, l'angle orienté (O'A,O'y) = j =( j , v). Nous en déduisons que la mesure algébrique O'H représente à l'échelle des tensions X_s.J.cosj. Nous pouvons écrire X_s.J.cosj = (X_s /3.V).3.V.J.cosj =(X_s /3.V).P où P représente la puissance électrique fournie par l'alternateur . De même la mesure algébrique O'K représente à l'échelle des tensions

X_s.J.sinj =(X_s /3.V).3.V.J.sinj soit (X_s /3.V).Q où Q représente la puissance réactive fournie.

Le diagramme ainsi simplifié est dit diagramme bipolaire car il possède deux points ou pôles à partir desquels nous pouvons lire toutes les grandeurs:

Ø      pôle O : nous lisons à l'échelle des tensions a V /cm:

v     la tension par phase V= a.OO'

v     la f.é.m à vide E_v = a.OA

Ø      pôle O' : nous lisons :

v     X_s.J = a.O'A soit en posant b = a /X_s échelle des intensités en A /cm, J = b.O'A

v     le déphasage j = ( j , v) =( O'A,O'y)

v     en posant c =3.V.a /X_s échelle de puissance en watt / cm ou en var /cm, nous lisons : P = c.O'H et Q = .O'K.

Cette possibilité de mesurer toutes les grandeurs sur le diagramme simplifié montre son intérêt.

Dans ce diagramme toute droite Dp parallèle à la tension V correspond à des points de fonctionnement A tels que O'H = Cste dont tels que la puissance active soit constante; nous appelons Dp droite d'équi-puissance.     

Les axes O'x et O'y découpent le plan en quatre quadrants; les quadrants Q1 et Q2 correspondent à P >0 c'est à dire fournie par l'alternateur; les quadrants Q3 et Q4 correspondent à P < 0 c'est à dire absorbée par la machine qui fonctionne en moteur. De même Q1 et Q4 correspondent à Q > 0 donc fournie par la machine et Q2 et Q3 à Q < 0 donc absorbée par la machine.

fonctionnement en moteur

Le diagramme de la fig.5 donne le diagramme bipolaire en négligeant R_s

Comme pour l'alternateur O'A représente l'intensité J à l'échelle b A / cm, O'H représente la puissance active absorbée P à l'échelle c W /cm et O'K représente la puissance réactive absorbée Q à l'échelle c

var /cm.

Le système d'axes O'x,O'y divise le plan en quatre quadrants; dans les quadrants Q1 et Q2 la puissance P est positive donc absorbée; dans Q3 et Q4, P est négative donc fournie, la machine fonctionne en alternateur. Dans Q1 et Q4,  Q >0, le moteur absorbe de la puissance réactive donc se comporte comme un circuit inductif. Dans Q2 et Q3, Q < 0 donc le moteur fournit de la puissance réactive et se comporte comme un circuit capacitif.

Sans se préoccuper des conventions, nous raisonnons en terme de puissance fournie ou absorbée; en comparant les diagrammes simplifiés des fig.4 et 5 nous obtenons le schéma ci-dessous:

3.9 Conclusion sur le modèle linéaire

Ø      Ce modèle n'est valable que dans un fonctionnement non saturé de la machine synchrone, fonctionnement qui est rarement utilisé en pratique. Les adaptations que nous avons décrites lorsque la machine est saturée ne donnent pas des résultats très convaincants.

Ø      Ce modèle n'est applicable qu'aux machines à pôles lisses; en effet la magnétisation due aux ampères-tours d'induit est fonction de la position des rotors réel (Rr) et fictif (Rf); le fer du stator et celui du rotor réel sont matérialisés fig.8 par un remplissage en pointillés.

Lorsque ses rotors sont superposés, le circuit des lignes de champ d'induit suit les pôles du rotor réel et donc est de faible réluctance (fig.8.a) Lorsque les deux rotors sont en quadrature, c'est à dire lorsque l'axe du rotor fictif est sur la ligne neutre du rotor réel à pôles saillants, les lignes de champ suivent un trajet important dans l'air donc la réluctance est élevée et le champ d'induit faible (fig.8.b). La méthode de Behn- Eschenburg ne prend pas en compte ce phénomène donc donne des résultats encore plus erronés pour un alternateur à pôles saillants qu'à pôles lisses.

 

4 Modèle de Potier

Pour tenir compte de la saturation magnétique de la machine, nous abandonnons l'addition des flux; nous allons composer les f.m.m. de l'induit et de l'inducteur pour lire le flux résultant en charge sur la caractéristique réluctive de la machine.

Ceci suppose que la machine soit à pôles lisses puisque l'effet de la f.m.m. de l'induit dépend de la position du rotor fictif par rapport au rotor réel donc de la charge de la machine.

4.1 Décomposition des flux de la machine synchrone

Nous abandonnons les notions de flux d'inducteur et d'induit.

Nous considérons (fig. 9):

v    le flux j_c commun à l'induit et à l'inducteur

v     le flux de fuites j_fs de l'induit ( stator), c'est à dire le flux embrassé par les seuls conducteurs du stator

v     le flux de fuites j_fr de l'inducteur (rotor), c'est à dire le flux embrassé par les seuls conducteurs du rotor.

Lorsque la machine est à vide, le courant stator j est nul ainsi que j_fs; le flux commun est créé par la f.m.m. du rotor; la caractéristique à vide lie alors ce flux au courant d'excitation de la machine en tenant compte de son état magnétique réel.                                                          

La machine étant en charge, le flux commun est créé par le rotor réel et le rotor fictif; la machine étant à pôles lisses, les lignes de champ du rotor fictif suivent un chemin semblable à celles du rotor réel. Ce flux peut donc être lu sur la caractéristique réluctive de la machine pour une f.m.m. égale à la composition des f.m.m. de l'induit et de l'inducteur.

Donnons au rotor fictif le même bobinage qu'au rotor réel; il doit être parcouru par un courant continu d'intensité I_efic pour produire un champ équivalent à l'induit. Nous définissons le coefficient d'équivalence comme le rapport de ce courant à l'intensité efficace J dans une phase du stator : a = I_efic / J. L'effet magnétique des deux rotors est alors identique à celui qu'aurait le seul rotor réel parcouru par le courant continu résultant de la superposition des intensités I_e et a.J. Pour tenir compte du décalage spatial des deux rotors, nous devons faire une addition vectorielle des courants en les portant chacun en phase avec l'axe de son rotor. Nous obtenons donc le courant équivalent à faire circuler dans le seul rotor réel pour obtenir le flux commun en charge . Ce courant équivalent crée le flux j_c donc dans une phase du stator la f.é.m efficace E_c =2,22.K.N.f.F_c. La machine ayant un seul rotor identique à celui de l'essai à vide, cette f.é.m sera lue sur la caractéristique à vide pour le courant équivalent I_ec.

En charge, le flux total embrassé par une phase stator résulte de la composition du flux commun j_c et du flux de fuites du stator j_fs . Ce flux de fuites est créé dans la phase 1 parcourue par le courant j₁; il est composé par:

v     les fuites d'encoches représentées sur la fig.9; le trajet des lignes de champ correspondantes est principalement dans l'air avec une partie commune aux lignes du champ commun dans les dents du stator et sous les encoches. Nous pouvons considérer que ce chemin de fuites est peu saturé donc ce flux est un flux de fuites propre proportionnel au courant créateur de la forme L_fe1.j₁.

v     le flux d'induction mutuelle résultant du couplage des encoches des trois phases, flux ayant un chemin semblable au précédent; nous pouvons l'exprimer sous la forme M_fe12.j₂ + M_fe13.j₃ =M_fe.(j₂ + j₃) puisque les phases 2 et 3 occupent des positions symétriques par rapport à la phase 1.

v     les fuites autour des têtes de bobinage de la phase 1, c'est à dire autour des connexions frontales des barres sur les faces avant et arrière de la machine; le trajet des lignes de champ est dans l'air; ce flux s'exprime sous la forme L_fb1.j₁.

v     le flux d'induction mutuelle résultant de l'enchevêtrement des têtes de bobines des  trois phases; ce flux circulant dans l'air s'exprime sous la forme: M_fb12.j₂ + M_fb13.j₃ = M_fb.( j₂ + j₃)                                                                                   

Tous ces flux ont des chemins différents ou se superposent dans des parties non saturables; nous pouvons donc les ajouter pour obtenir le flux de fuite total:

j_f1 = (L_fe1+L_fb1) .j₁ + (M_fe+M_fb).( j₂ + j₃ ) ; en régime équilibré  j₂ + j₃ = -j₁ d'où:

j_f1  = (L_fe1+L_fb1- M_fe-M_fb).j₁ = L_fs.j₁. Le flux de fuites est donc proportionnel au courant dans la phase. Nous appelons L_fs inductance cyclique de fuites d'une phase stator et l = L_fs.w réactance cyclique de fuites d'une phase stator.

Les flux j_f et j_c ayant des trajets quasi indépendants, nous pouvons les ajouter pour obtenir le flux total, malgré la saturation. Il vient j_s = j_f  + j_c ; la f.é.m résultante dans une phase est donc

e_ch = -dj_f  /dt - dj_c  /dt = -L_fs.dj /dt + e_c.

4.2 Modèle de Potier de l'alternateur

Nous pouvons alors donner un schéma équivalent d'une phase stator.

Ce modèle a la même structure que le modèle linéaire mais ses éléments en sont différents :

v     la f.é.m. e_c est créée par la résultante vectorielle des f.m.m. rotor et stator: 

v     la réactance de fuites Lfs . w = l n'a rien avoir avec la réactance synchrone X_s et sa valeur est beaucoup plus faible.

Ce modèle est dit de Potier; le coefficient d'équivalence a et la réactance de fuites l sont appelés coefficients de Potier.

Construisons le diagramme de Fresnel correspondant à ce modèle:

 

Connaissant V, J et j = (j ,v), nous choisissons une échelle a V/ cm; à cette échelle, nous construisons OA représentant v, AB représentant R_s.J en phase avec J et BC représentant l.J en quadrature avant sur  j. Le vecteur OC représente donc la f.é.m E_c. Sur la caractéristique à vide nous lisons l'intensité équivalente I_ec correspondant à cette f.é.m. Ce courant est en phase avec le flux j_c qu'il crée et donc en quadrature avant sur la f.é.m e_c = -dj_c /dt. Choisissons une échelle b_e pour représenter les intensités dans le rotor; à cette échelle OD représente I_ec ; l'intensité du courant inducteur est donnée par . Nous construisons donc DF représentant -aJ, parallèle à J et de sens opposé; le vecteur OF représente le courant inducteur à l'échelle b_e.

Si nous faisons tourner le diagramme des courants rotor de - p/2, OD devient OD' en phase avec OC, DF devient D'F' en phase avec BC; le courant inducteur est représenté par OF'. Translatons le triangle OD'F' suivant OC jusqu'à amener D' en C; le triangle O'CG est alors obtenu; O'C représente  I_ec , CG représente -a.J et O'G représente I_e (fig.12).

Ce nouveau diagramme sera utilisé en pratique; il a l'avantage d'une construction plus simple donc plus précise que celui de la fig.11: nous n'avons plus besoin de construire l'angle droit COD et DF parallèle à J, nous utilisons des directions déjà tracées. Il a l'inconvénient de faire perdre la notion de composition spatiale des rotors.

4.3 Modèle de Potier du moteur synchrone

La décomposition des flux et la définition des coefficients de Potier reste la même; sur le modèle équivalent de la fig.10, nous inversons le sens de l'intensité j pour prendre les conventions moteur; les équations du modèle deviennent: E_c = V - (R_s +j.l).J ; le sens du courant induit étant inversé l'équation de composition des f.m.m. donne  vectoriellement :   . Nous en déduisons le diagramme de Fresnel de la fig.13.

Comme pour le fonctionnement en alternateur, nous pouvons tracer plus facilement le diagramme des courants inducteurs en le faisant tourner de -p /2 puis en le translatant pour amener le point D en C. Nous obtenons le diagramme de la fig.14.

En rabattant le triangle des courants (fig.12 ou fig.14), nous voyons que quel que soit le fonctionnement le vecteur CG est colinéaire et de même sens que le vecteur BC.   

4.4 Détermination des coefficients de Potier

Pour construire le diagramme de Potier, nous avons besoin de connaître:

v     la caractéristique à vide liant E_c à I_ec identique à celle liant E_v à I_e;

v     la résistance R_s d'une phase stator.

v     les coefficients de Potier a et l.

Les deux premiers éléments sont obtenus comme dans le modèle linéaire.

Pour connaître les coefficients de Potier, nous faisons un essai en alternateur sur charge purement inductive, c'est à dire j = ( j ,v) = p /2. Cette charge peut être une inductance triphasée mais la résistance des bobines fausse la mesure (cosj = 0,1 à 0,2 au lieu de 0); nous préférerons utiliser le réseau EDF comme charge. Nous verrons plus loin comment réaliser pratiquement l'essai.

Traçons fig.15 le diagramme de Potier pour cette charge :

Les directions de v et e_c sont quasi parallèles et nous pouvons en déduire que E_c = V + l.J arithmétiquement et non plus vectoriellement. Nous avons de même I_e = I_ec + a J.

Traçons sur un même graphe et pour une même vitesse, la caractéristique à vide Co représentant E_v(I_e) identique à  E_c(I_ec) et la caractéristique par phase en réactif Ci représentant V(I_e) à J_réac =  Cste et  j = p /2 (fig.16).

Supposons les coefficients de Potier connus. Soit un point M de Ci de coordonnées (I_e ,V); pour ce point en réactif, nous avons la f.é.m E_c donnée par E_c = V + l .J_réac. La f.é.m. représentée sur la figure correspond sur  Co au point P donc au courant équivalent I_ec représenté par OK. La relation I_e = I_ec + a.J_réac se traduit par :

OL = OK+KL; KL représente donc a.J_réac à l'échelle des courants rotor.

Le triangle MNP a donc pour côtés MN représentant a.J_réac à l'échelle des abscisses et NP représentant l .J_réac à l'échelle des ordonnées. Le long de Ci, J_réac est constant donc les dimensions du triangle dit triangle de Potier sont invariables; lorsque M décrit la courbe Ci le triangle de Potier se translate sans déformation.

Nous pouvons utiliser ce résultat pour obtenir les coefficients de Potier.

méthode de Potier

Avec les mêmes échelles, nous traçons sur une feuille de papier millimétré la caractéristique à vide Co dans des axes O_ox_o et O_oy_o et sur une feuille de papier calque la caractéristique Ci à J_réac = Cste dans des axes O_ix_i et O_iy_i. Nous plaçons le calque sur la feuille en superposant les axes puis nous faisons glisser le calque en gardant parallèles les deux systèmes d'axes jusqu'à ce que Ci se superpose à Co. Nous avons dû pour cela amener M en P (fig.16); nous avons effectué une translation MN vers la droite et NP vers le haut; l'origine O_i a subi la même translation par rapport à O_o. Nous mesurons donc sur les axes du graphe de Co l'abscisse de O_i égale à -a_.J_réac et l'ordonnée de O_i égale à l.J_réac. Nous en déduisons a et l.

méthode de jarret

Nous n'avons besoin dans cette méthode que des deux points M et M' de Ci. Le point M' correspond à V = 0 donc à un essai en court-circuit pour l'intensité J_cc = J_réac. Ce point correspond à la valeur du courant d'excitation I_ecc qui peut être lu sur la caractéristique en court-circuit utilisée dans le modèle linéaire pour déterminer la réactance synchrone. Au point M' le triangle de Potier est représenté par M'N'P'; la caractéristique Co étant linéaire près de l'origine, elle est confondue avec le segment OP'. Le point M est connu mais le triangle MNP est inconnu; construisons un triangle MQP égal au triangle M'OP'; pour cela nous portons horizontalement MQ = M'O = I_ecc . Traçons la droite D passant par Q et parallèle à OP', c'est à dire à la partie non saturée de Co; cette droite coupe Co en P. Les triangles OP'M' et QPM sont égaux; si nous traçons les hauteurs P'N' et PN elles sont égales; N est donc le troisième point du triangle de Potier.

En résumé pour cette méthode:

v     essais nécessaires: essai à vide [Co]; essai en court-circuit [Ccc = J_cc(I_e)] ;

un point en réactif V, J_réac, I_eréac, j =p / 2.                             

v     tracés : dans des axes I_e , E_v nous traçons Co; nous plaçons le point M = (I_eréac,V) . Nous lisons sur Ccc le courant I_ecc correspondant à J_cc = J_réac et nous portons sur une horizontale passant par M et vers la gauche MQ égal à I_ecc à l'échelle des abscisses; par Q nous traçons D parallèle à la partie linéaire de Co ; cette droite coupe Co en P. Nous projetons P orthogonalement en N sur QM.

v     calculs : à l'échelle des abscisses NM représente a.J_réac d'où nous tirons le nombre a ; à l'échelle des ordonnées NP représente l.J_réac d'où nous tirons l en ohms.