Le terme de fréquence f est appelé harmonique de rang 1 ou fondamental; le terme de fréquence n.f est appelé harmonique de rang n ou en abrégé harmonique n.
1.2 Calcul des coefficients
Calcul du terme constant
nous calculons la valeur moyenne de y(t)
: Yo = Ymoy.
Calcul des termes An et Bn
et
Calcul des coefficients de la deuxième forme

1.3 Influence des symétries de la fonction
Si une fonction présente des symétries, tous les termes de la série de Fourier doivent présenter les mêmes symétries. Tout terme n'ayant pas les mêmes symétries que la fonction doit s'annuler par annulation du coefficient An ou Bn.
Les symétries possibles sont :
Ø fonction paire = symétrie par rapport à l'axe Oy; y(-t) = y(t);
tous les coefficients Bn sont nuls
Ø fonction impaire = symétrie par rapport à l'origine O; y(-t) = -y(t);
tous les coefficients An sont nuls.
Ø fonction alternative : symétrie par rapport au point (T/2; 0); y(t+T/2) = -y(t)
tous les harmoniques de rang pair sont nuls : A2p = B2p = 0.
Ø fonction "redressée" : symétrie par rapport à l'axe t = T / 2 : y(t+T/2) = y(t);
tous les harmoniques de rang impair sont nuls : A2p+1 = B2p+1 = 0.
1.5 Caractéristiques du signal
Ø La valeur efficace du signal en fonction de la valeur des harmoniques :
.
Ø L'amplitude de chaque harmonique peut être caractérisée par son rapport à celle du fondamental,
exprimé en %; le taux d'harmonique n est : THn = 100*Yn / Yo.
Ø Le taux global d'harmonique ou taux de distorsion harmonique est en % :
Plus ce taux est grand, plus le signal s'écarte de la forme sinusoïdale pure.
2.1 Cas général
On étudie un dipôle alimenté par un signal non sinusoïdal. Tension et courant sont des grandeurs non sinusoïdales de même fréquence:
2.2 Cas d'une tension sinusoïdale
On rencontre souvent le cas où un dipôle non linéaire est alimenté par une tension purement sinusoïdale. Dans ce cas, la tension ne comporte pas d'harmoniques alors que le courant déformé par la charge en comporte.
Expression des puissances
On appelle puissance déformante D, la quantité :
; c
ette puissance s'exprime en VA comme la puissance apparente.
Elle est nulle en régime purement sinusoïdal et augmente avec la déformation du courant, d'où son nom.
Le facteur de puissance peut s'écrire :
La valeur du facteur de puissance résulte donc de deux phénomènes :
v la distorsion harmonique rendant I1 / I < 1
v la consommation d'énergie réactive, correspondant au terme cosj1 appelé
déplacement du facteur de puissance, car il est dû au déphasage courant fondamental - tension.
Exemple
Soit un redresseur PD2 mixte alimentant une charge suffisamment inductive pour assurer un filtrage parfait du courant (fig.5a).


Les formes d'onde sont données par la fig.5b pour un retard à l'amorçage a des thyristors.
Le réseau fournit la tension v=V.Ö2.sinq.
= 8,16 A ; J1 = 7,8 A ; cos j1 = 0,866
P = 1 553 W ; Q = 897 VAR ; S = 1 878 VA;
Le facteur de puissance est Fp = 0,827 inférieur de 4,5 % au facteur de déplacement.
Le taux global d'harmoniques du courant j est de 31,1 % et la puissance déformante D = 557 VA.
3 Effets polluants d'une charge non linéaire
3.1 Effets sur la tension
Principe
Une charge non linéaire ou polluante est un récepteur qui alimenté par une tension sinusoïdale absorbe un courant alternatif non sinusoïdal. C'est par exemple le redresseur étudié au paragraphe 2.2.2.
Exemple
Soit une salle informatique comportant 20 ordinateurs connectés en parallèle sur une ligne.
Les alimentations continues des boîtiers et des écrans forment une charge polluante.
L'analyse harmonique du courant consommé par la salle donne les résultats suivants:

Calculons les harmoniques de la tension v' côté salle informatique de la ligne :
Nous constatons que la tension v' est déformée par des harmoniques; son taux global d'harmoniques est égal à 13 %.
La fig.7 donne l'allure des grandeurs
3.2 Inconvénients des harmoniques
Ø La présence d'harmoniques détériore le facteur de puissance donc, pour une tension et une puissance données, augmente le courant en ligne.
On constate que la tension et le courant augmentent de façon dangereuse. Le courant efficace est multiplié par 3,6 alors qu'il devrait diminuer !
4 solutions à apporter
4.1 Normes
Afin d'éviter une pollution excessive des réseaux, une norme définit les limites à ne pas dépasser pour les harmoniques. Par exemple la norme CEI 61000-3-2 définit les valeurs harmoniques à ne pas dépasser pour les appareils électriques consommant moins de 16 A par phase :
4.2 Limitation de l'effet des charges polluantes
Ø On peut limiter la transmission des harmoniques en plaçant un inductance en série avec la charge polluante et en raccordant les autres récepteur en amont de cette inductance.
4.3 Filtrage passif
On peut piéger les harmoniques du courant en plaçant en parallèle avec la charge un circuit résonnant série RF - LF - CF accordé sur la fréquence n.f de l'harmonique à atténuer. Ce circuit présente une impédance faible à la fréquence n.f et donc constitue un court-circuit pour le courant harmonique in; on évite ainsi la propagation dans la ligne. Aux autres fréquences, l'impédance est élevée et modifie peu le comportement du circuit.
Reprenons l'exemple de la salle informatique et utilisons un filtre accordé sur la fréquence 150 Hz de l'harmonique 3. Nous gardons C = 50 µF pour compenser la puissance réactive; nous en déduisons
L =22,5 mH et nous prenons R = 0,1 ohm.
La fig.9 donne l'allure du module de l'impédance vue de la charge; sans filtre, cette impédance est celle de la ligne ZL = R+j.L.w. L'impédance du filtre est ZF = RF+j(LF.w-1/CF.w). L'impédance vue de la charge est équivalente à ZL et ZF en parallèle.
L'analyse du réseau donne les harmoniques de la fig.10 (pour la tension en bout de ligne, on n'a pas représenté le fondamental car les harmoniques sont faibles et l'échelle à utiliser ne permettrait pas la visualisation précise des harmoniques) : en rouge plein on donne les valeurs sans filtre et en hachuré bleu, les valeurs avec filtre.
On constate pour le courant en ligne, un réduction de 94 % de l'harmonique 3 et de 7 à 10 % pour les autres harmoniques.

On retrouve des résultats similaires pour la tension v'.
Le taux global d'harmoniques passe de 121 à 92 % pour le courant et de 47 à 11 % pour la tension.
Les puissances consommées sont : P = 1 691 W , Q = 0,6 VAR. Le facteur de forme passe de 0,55 à 0,74.
La fig.11 donne l'allure des grandeurs.

Sur ces graphes, on ne peut constater une amélioration sensible des formes d'ondes car le signal reste riche en harmoniques.
On peut encore améliorer le fonctionnement en plaçant en parallèle des filtres accordés sur les harmoniques 3, 5, 7, …Pour choisir les composants, on partage la capacité nécessaire pour compenser la puissance réactive entre les trois filtres inversement proportionnellement à la fréquence; on en déduit la valeur des trois inductances.

La fig.12 donne les spectres du courant réseau et de la tension v' en bout de ligne avec trois filtres accordés sur les harmoniques 3, 5 et 7 avec les valeurs du tableau ci-dessus.

La fig.13 donne l'allure du courant en ligne et de la tension en bout de ligne.

On observe encore un courant loin d'une forme sinusoïdale; en revanche, la forme de tension s'est améliorée.
Cette étude montre la difficulté de respecter la norme lorsque le signal est riche en harmoniques.
Il faudrait rajouter des filtres accordés sur les rangs 9, 11, 13 pour rester dans la norme ce qui donne un minimum de six filtres donc un montage complexe et cher.
Cette méthode de filtrage passif pourra s'appliquer lorsque il y a peu d'harmoniques importants de rang faible.
4.4 Filtrage actif
Le principe du filtrage actif est de mesurer la différence ih = i - i1 entre le courant en ligne pollué et sa composante fondamentale puis de générer par un convertisseur, un courant - ih que l'on réinjecte dans la ligne. On annule ainsi tous les courants polluants.
Le synoptique d'un tel montage est donné fig.14 :

On prélève le courant charge et on retire sa composante fondamentale par un filtre réjecteur.
Le signal ih pilote un onduleur de courant asservi de façon à générer le courant opposé.
L'onduleur doit être alimenté en continue. Cette tension est créée par un redresseur et un hacheur élévateur piloté de façon à absorber un courant sinusoïdal : un simple redresseur suivi d'un filtre par condensateur générerait des harmoniques supplémentaires !
4.5 Conclusion
Cette étude montre :
Ø la difficulté d'éliminer les harmoniques pour respecter les normes : montages complexes et coûteux
On peut en conclure qu'il vaut mieux essayer de ne pas générer des harmoniques plutôt que de tenter de les éliminer.
Les principales sources d'harmoniques sont :
Ø les gradateurs de conversion alternative - alternative pour alimenter des systèmes d'éclairage ou des machines asynchrones.
Dans le premier cas, on peut remplacer le redresseur et le filtre par un ensemble redresseur - hacheur élévateur piloté pour absorber un courant quasi sinusoïdal ( système PFC ou PMFC).
Dans le deuxième cas, on peut rechercher des structures et des modes de commande limitant la génération d'harmoniques.